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à distances égales de des points M et 3f' de manière qu'on ait encore la relation (1), le 

 segment MM' est, d'après Poncelet, une corde idéale de la conique. 



Une question importante qui s'impose dès l'abord dans la théorie qui nous occupe, est 

 celle de savoir si deux sections coniques, situées dans un plan, ont en général une corde idéale 

 commune. La manière dont Poncelet a traité cette question nous semble quelque peu super- 

 ficielle et incomplète. Il la fonde sur ce qu'il appelle „le principe de continuité'' et qui, dans 

 le cas actuel, consiste dans la supposition que la courbe décrite par le point de rencontre d'une 

 paire de diamètres des deux coniques dont les conjugués sont parallèles entre eux, reste 

 continue entre certains points de son parcours (1. c. Tome I, art. 58). Or une telle sup- 

 position est évidemment arbitraire tant qu'on ne connaît pas la nature de cette courbe. C'est 

 pourquoi nous croyons utile de compléter sous ce rapport la démonstration donnée par Pon- 

 celet, en examinant de plus près la courbe 

 dont il s'agit. Toutefois nous restreignons, pour 

 la clarté de l'exposition, l'objet de notre étude 

 à des ellipses, bien qu'elle eût pu s'étendre fa- 

 cilement à des coniques en général. 



Considérons donc (Fig. 1) deux ellipses (C) 

 et (C) situées dans un même plan et observons 



Fio- 1 



''' ' d'abord qu'elles possèdent toujours, quelle que 



soit la forme et l'orientation de chacune d'elles, un système de diamètres conjugués également 

 dirigés. Soient AB, DE les diamètres conjugués de l'ellipse (C) qui sont respectivement 

 parallèles aux diamètres conjugués A'B', D'E' de l'ellipse (C). Prenons CA et CD pour 

 axes coordonnés et posons 



a = CA, h = CD, a'=G'A', b' = C'D'. 



En désignant par /;, k les coordonnées du centre C" dans ce système, l'équation de l'ellipse 

 (C) sera 



^ + 2^- = 1 



a^ ^ b' ^ 



et celle de l'ellipse (C) 



(x-hr- (y-ky _ 



Figurons-nous maintenant un système de cordes parallèles à une droite donnée dont l'équation 

 est y = nx. A ces cordes correspond dans chacune des ellipses (C) et (C) un diamètre dont 

 nous désignons le coefficient angulaire respectivement par m et m'. Cela posé, on aura 



o^ ' a'- ' 



ou bien, en posant i? = t et _p' = -j^-, 



v I p' 

 m = — — , m = — — . 

 n' n 



Tom. XXXV. 



