Sur les polygones de Poncélet. 5 



D'après cela, les deux diamètres dont il s'agit seront déterminés respectivement par les 



équations 



p 

 Il = — - X 

 •' n 



et 



y-Jc = -{(x-h). 



Pour trouver le lieu du point où ces diamètres se rencontrent, on n'a qu'à éliminer 

 n entre ces équations, ce qui donne 



P — k p' x — h 



l/ ~ p ' X ' 



ou en réduisant 



(2) • {p ~p'} xy —pfcx-\-p'hy = 0. 



Le lieu cherché est donc une hyperbole dont les asymptotes sont parallèles aux axes coor- 

 donnés, c'est à dire au système de diamètres conjugués commun des deux ellipses. La 

 courbe passe évidemment par le centre de l'une et l'autre de celles-ci, puisque son équation 



(2) est satisfaite non seulement par les valeurs des deux coordonnées, mais aussi en fai- 

 sant x = h, y = lc. 



Dans le cas particulier oîi p =p\ c'est à dire où les deux ellipses sont semblables et 

 semblablement placées, l'équation (2) devient 



^ _ y . 



la courbe se réduit alors à une droite passant par les deux centres. 



Si les deux centres coïncident, c'est à dire si l'on a /i = Ä: = 0, i> <ä.\, p' étant quel- 

 conques, la courbe coïncide avec les deux axes coordonnés. 



Revenons au cas général. Pour faire disparaître les termes du premier degré de 

 l'équation (2), nous y substituons x = A'— a, y = T—ß, ce qui revient à transporter l'origine 

 au point dont les coordonnées sont a; = — «, y = ~ß. Faisant alors 



(3) « = +^, ß=--^., 

 \ ' p—p'^ ' p — p 



nous trouvons 



XY=aß, 



ce qui est l'équation de l'hyperbole rapportée à ses asymptotes comme axes coordonnés. 

 Dans ce système les coordonnées du centre C sont + « et -f /S, et celles du centre C 



«' = « + /i = — , « , 



/ï'=|ï+/^- = f /S, 

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