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L. LiNDELÖF. 



d'où a'ß' = aß. On voit par là, «' ayant même signe que « et ß' même signe que ß, que les 

 centres des deux ellipses se trouvent dans un même angle formé par les asymptotes, c'est à 

 dire sur une même branche de l'iiyperbole, et qu'ils sont ainsi réellement liés entre eux par 

 un trait continu de la courbe, comme l'avait supposé Poncelet. 



La disposition de l'hyperbole par rapport aux ellipses données dépend d'ailleurs des 

 paramètres h et Te, c'est à dire des différences entre les coordonnées correspondantes des 

 deux centres. En admettant que jp ^p', la branche de l'hyperbole qui contient les centres C 

 et C" est comprise dans l'angle où X a le signe de h et Y \e signe de — ^, l'autre branche 

 se trouvant dans l'angle opposé. Si l'une des quantités h, h est nulle, l'hyperbole se confond 

 avec les axes des X et Y, c'est à dire avec les asymptotes; et si toutes les deux s'éva- 

 nouissent, celles-ci coïncident, comme nous l'avons vu, avec les diamètres conjugués communs 

 des deux ellipses. 



Dans les formules précédentes n'intervient que le rapport des diamètres conjugués de 

 chaque eUipse, mais non ces diamètres eux-mêmes. La courbe que nous étudions est donc 

 indépendante de la grandeur de chaque ellipse et ne dépend que de sa forme et situation, de 

 sorte qu'on peut faire varier proportionnellement les dimensions de l'une ou de l'autre, sans 

 que la courbe en question en soit altérée. 



L'hyperbole (H) ainsi déterminée peut être regardée comme le lieu d'un point qu 

 est centre commun de deux cordes réelles ou idéales également dirigées, dont l'une 2 c appar- 

 tient à l'ellipse (C) et l'autre 2e' à l'ellipse (C). Ces cordes sont en général de longueur 



différente et leur rapport varie suivant la position 

 du point 0. Ce n'est que pour des positions parti- 

 culières de ce point qu'elles peuvent devenir égales 

 entre elles et constituer ainsi une corde commune, 

 réelle ou idéale, aux deux ellipses. 



Pour élucider cette question, il faut avant tout 

 déterminer les valeurs de c et c' qui correspondent 

 à un point quelconque de l'hyperbole (H). A cet 

 effet, nous considérons d'abord l'eUipse (C) et nous 

 désignons, comme auparavant, par x, y les coordon- 

 nées dans le système dont l'origine est au centre C. 

 Soit MN (Fig. 2) le demi-diamètre qui passe par 

 et PQ son conjugué. Celui-ci est parallèle à la corde cherchée 2c dont est le centre. Dé- 



signons par n son coefficient angulaire; celui de la droite CM sera 

 cette droite aura pour équation 



ny = —px. 





—, en sorte que 



Les coordonnées du point devant satisfaire en même temps à cette équation et à celle de 

 l'hyperbole, qui est 



(j) -p') xy -plx +p'hy = 0, 



Tom. XXXV. 



