Sur les polygoties de Poncelet. 7 



on en déduit pour elles les valeurs suivantes: 

 /,, „ nk + p'h , p nk + p'h 



(4) x = • — ^ et y=-~ -r ■ 



p - p •' n p —p' 



On aura de même, on désignant par ?, r; les coordonnées du point M, la relation 



nTi = —p'S., 



laquelle, jointe à l'équation de l'ellipse 



donne 



n-+p'' ' n^+p' n-+p' 



Cela posé, on aura, 6 étant l'angle des axes coordonnés, 



cm'= :« + 2 ■£>! cos e + v' = "'""-^"?'^"^' ■£' = ' ''"-^r"'^^^' «^. 



' ' n' - n^ +p 



Pour déduire la valeur du carré du demi-diamètre CP, conjugué à CM, on n'a qu'à remplacer 

 n par — ^ dans cette formule, et l'on obtient ainsi immédiatement 



Tîd" ~ î; (n- + 2 n cos Ö + 1) „ 

 OF = ^^ —, ' a?, 



n-+p ' 



d'où 



/CPy _ pW- + 2ncose + 1) 

 \CMj ri- - 2 pn cos + p'^ ' 



D'autre part on trouve 



2 



tu =x^ -\-2 xy cos 6* + î/^ = j^ — _ i^ a; , 



et par suite 



Maintenant nous pouvons déterminer, comme il suit, pour l'ellipse (C) la longueur de 

 la corde 2 c dont le milieu se trouve au point 0. Cette corde étant parallèle à PQ, on a 

 d'après (1) 



e'=pOM.ON=±(ß^J{co'-CM), 



où il faut prendre le signe supérieur ou inférieur suivant que se trouve à l'extérieur ou à 

 l'intérieur de l'ellipse, c'est à dire suivant qu'il s'agit d'une corde idéale ou réelle. En por- 

 tant dans cette expression, pour les segments de droites qui y entrent, leurs valeurs analy- 

 tiques précédemment trouvées, il vient 



(^\ ^2 _ -U P ("' + 2 neos 9+ 1) ,2 _ g2i ... 



(o) e-± „. (X n. %%mt> 



N:o 10. (^y^^^-y-. 



xs^\ '^'•-»' yj^/ 



