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Passons maintenant à l'ellipse (6"). En désignant par x\ y' les coordonnées du point 

 dans un système parallèle à {x, y), mais dont l'origine est au centre C de cette ellipse, 

 et par t, rf celles du point M' où l'ellipse est coupée par la droite C'O, on trouve 



, , nk+ph , , p'nk+ph 



p — p ^ "^ -^ n p — p ' 



.^,2 ^ n'a'- „^ ^ p'^a'^ ^ p'b" 



nr+p''' ' n- + p' n^-hp'' 



Le coefficient angulaire étant n pour la corde 2 c' aussi bien que pour 2 c, la formule (5) con- 

 duit, par analogie, immédiatement à la suivante 



,2 ^ I p' (w- + 2 ra COS + 1) , ,2 _ j,2s 

 — n' ^ ' / • 



Pour simplifier la recherche, nous admettons dès à présent que les cordes 2 c et 2 c', 

 que l'on veut comparer entre elles, doivent être de même nature, c'est à dire toutes deux 

 réelles ou toutes deux idéales. Cela revient à établir entre les expressions de c^ et c'- une 

 correspondance telle que le signe supérieur de l'une se combine avec le signe supérieur de 

 l'autre et qu'il en soit de même des signes inférieurs. Ou trouve alors la relation simple 



,„s _c^ ^ p (a;^ - 4- ) ^ p' (y' - y'-) 



y^) (.n p<^x-'-n p(y'--rr-y 



qui fait voir immédiatement que le rapport ~ a pour limite —,, lorsque le point 0, centre 



des deux cordes, s'éloigne suivant l'hyperbole vers Z=oo, et — lorsqu'il s'éloigne vers 

 F= 00 . 



Pour que les deux cordes soient égales entre elles, il faut donc qu'on ait 



p {x^ - §2) = p' (a;'2 - ?'2) 

 ou 



(7) px^ — p'x'^ =pP- p'^'\ 



D'après les formules précédentes, x, x', ?, 5' peuvent s'exprimer par la seule variable n. On 

 trouve alors, en observant que pa'' = l"^, p'a"^ = h"^, 



pxP- - v'x'^ = pink+p'hY-p-jnk+p hf ^ n'-r- -ppV - 

 F ' 1 (p - p')" P - p' ' 



P? P? n^^p n^+p' (n''+p)(n'^+p') 



Par la substitution de ces valeurs dans l'équation (7), elle devient 



n-k-—pp'h- n* {b- — b'-) + 11- (p'b'' ~ pb"-) ^ 



p-p' {n'-+p){n^->tp') ~"' 



ou bien, en chassant les dénominateurs et effectuant quelques réductions faciles, 



(8) = Ic^n^ + [(p + p') l"^ - pp' h?-{p-p') (ft2 - 6'2)] w* 



+ l)p' [7c2 _ (^p 4-_p') /,2 _ (p _^') («2 _ a'2)J „2 _pY2}ii_ 



Tom. XXXV. 



