Sur les polygones de Poncelet. 9 



Telle est, en définitive, la condition que doit remplir le coefficient angulaire n de toute 

 corde commune aux deux ellipses, pourvu qu'elle soit réelle pour chacune des ellipses ou 

 idéale pour l'une et l'autre '). 



L'équation (8), étant du troisième degré en w^, admet au moins une racine réelle d'un 

 signe opposé à celui du dernier terme, c'est à dire positive. Donc il existe au moins deux 

 cordes, telles que nous les avons envisagées, communes aux deux ellipses. Pour qu'il en 

 existe plusieurs, il faut que les deux autres racines soient aussi réelles et positives. En 

 effet, dans le cas où elles sont réelles, ces racines auront nécessairement le même signe^ 

 leur produit étant positif, et si elles étaient négatives toutes les deux, les valeurs correspon- 

 dantes de n seraient imaginaires. Donc le nombre des cordes communes de même nature ne 

 peut être que de deux ou de six. A chaque valeur positive de n^ qui satisfait à l'équation 

 (8) correspondent deux cordes communes en général distinctes, dont l'une a pour coefficient 

 angulaire n et l'autre —n. 



Les coordonnées x, y du point 0, centre de la corde commune, sont données par les 

 formules (4). En y introduisant au lieu de h et Te les paramètres a et ß donnés par les équa- 

 tions (3), on peut les mettre sous la forme 



s 



, nß 

 P ' 



et l'on trouve par là pour les coordonnées X, Y du même centre dans le système qui a pour 

 axes les asymptotes de l'hyperbole, les valeurs simples 



X=x+a=f, 



Si l'on y remplace n par — n, X et F ne font que changer de signe. Ainsi les centres des 

 deux cordes communes qui correspondent à une valeur réelle et positive de n- vérifiant l'équa- 

 tion (8), sont symétriques par rapport à l'origine et se trouvent par conséquent aux extrémi- 

 tés d'un même diamètre de l'hyperbole sur différentes branches de celles-ci. D'ailleurs, si l'on 

 mène par le centre de l'hyperbole deux droites parallèles aux cordes dont il s'agit, ces droi- 

 tes seront conjuguées l'une à l'autre par rapport au système des asymptotes et vice versa, 



') En parlant des tentatives qu'on a faites de traiter le problème d'une manière purement algébri- 

 que, Poncelet dit (1. c. tome I, page 59, note) qu'elles sont plutôt propres à faire sentir la difficulté de la 

 question qu'à la résoudre. „Au reste, cette difficulté tient au fond même des choses; car le calcul doit na- 

 turellement conduire .... à des équations du 12" degré." Cependant l'équation (8) en n que nous venons 

 de trouver n'est que du ô« degré. Cette simplification vient, comme nous l'avons vu, de ce que nous 

 n'avons comparé entre elles que des cordes de même nature des deux ellipses, sans tenir compte du cas où 

 la corde commune serait réelle pour l'une des ellipses et idéale pour l'autre, ce cas étant d'ailleurs sans in- 

 térêt pour la recherche actuelle. 



N:o 10. 2 



