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L. Lindelöp. 



en sorte que les cordes menées entre elles parallèlement à l'une des asymptotes seront divi- 

 sées en parties égales par l'autre. 



Sans entrer dans une discussion plus approfondie de l'équation (8), nous pouvons facile- 

 ment décider la question principale pour nous, qui est de savoir si les deux ellipses don- 

 nées ont ou non quelque corde commune idéale. A cet effet, nous allons rapidement passer 

 en revue les différents cas qui peuvent se présenter. 



1. Les deux ellipses sont extérieures Vune a Vautre. — A la racine positive de l'équa- 

 tion (8) dont l'existence est sûre, correspondent, comme nous l'avons vu, deux cordes com- 

 munes dont chacune peut être réelle ou idéale. Dans le cas actuel il n'existe évidemment pas 

 de corde commune réelle; donc les cordes dont il s'agit sont toutes les deux idéales. Leur 

 existence devient d'ailleurs évidente par la considération de la figure 3. Soient E et F les 



points d'intersection les plus 

 rapprochés l'un de l'autre de 

 l'hyperbole (-H") avec les ellip- 

 ses {C) et (C). Le rapport 





Fig. 3. 



qui a lieu entre les carrés des 

 cordes appartenant à l'une et 

 l'autre de ces ellipses et ayant 

 leur centre commun en un 

 point de l'hyperbole, varie 

 évidemment d'une manière 

 continue de à oo lorsque 

 ce point passe de E à F. Donc, 

 il y a nécessairement une po- 

 sition intermédiaire, soit P, de 

 ce point, pour laquelle le rapport dont il s'agit devient = 1 , c'est à dire, où les cordes 

 2 c, 2 c' deviennent égales et se confondent en une seule corde idéale commune ayant son 

 centre en P. Dès lors il doit y avoir une autre corde commune ayant son centre P' sur 

 l'autre branche de l'hyperbole à l'extrémité du diamètre mené par P, et cette corde ne peut 

 être qu'idéale puisque, d'après l'hypothèse, les ellipses n'ont pas de corde commune réelle. 

 Si les points E et F coïncidaient, c'est à dire si les deux ellipses se touchaient ex- 

 térieurement, la corde dont le centre est au point de contact s'évanouirait, mais sa conju- 

 guée, la corde idéale passant par P', garderait une valeur finie. 



2. Les ellipses s^ entrecoupent en deux points M et N. — A la corde réelle MN doit 

 correspondre une autre corde commune dont le centre est diamétralement opposé à celui de 

 MN. Cette dernière corde est nécessairement idéale, puisque les ellipses, d'après l'hypothèse, 

 n'admettent qu'une seule corde commune réelle. 



Tom. XXXV. 



