Su)- les X)olygones de Poncelet. 1 1 



3. Les ellipses s'entrecoupent en quatre points, soient D, E, F, G. Elles auront alors 

 six cordes communes, à savoir les droites qui joignent ces points deux à deux. Comme tou- 

 tes ces cordes sont réelles, il n'existe point de corde commune idéale. 



Ce cas donne lieu à quelques observations intéressantes. L'hyperbole {H) doit, comme 

 nous l'avons vu, passer non seulement par les centres des deux ellipses, mais aussi par le 

 milieu de chaque corde commune. Les cordes se groupent deux à deux en trois paires dont 

 chacune est parallèle à un système de diamètres conjugués de l'hyperbole. Les milieux des 

 deux cordes ainsi conjuguées se trouvent aux extrémités d'un diamètre de l'hyperbole. Ainsi 

 les droites qui joignent les milieux des trois paires de cordes passent toutes par le centre 

 de l'hyperbole. Pour trois des cordes le coefficient angulaire n est positif, pour les trois 



k 



autres il est négatif. Les trois cordes pour lesquelles n et y ont des signes opposés ont 



leurs milieux sur la branche de l'hyperbole qui passe par les centres des deux ellipses; les 

 milieux des trois autres cordes se trouvent sur l'autre branche. 



Ce que nous venons de dire des ellipses {C) et (C) s'applique évidemment à toute 

 autre ellipse circonscrite au tétragone DEFG. Donc le lieu du centre d'une ellipse circon- 

 scrite à un tétragone donné est une hyperbole ayant pour centre le point d'intersection des 

 deux médianes et passant par les milieux des côtés et des diagonales du tétragone. 



Les côtés opposés du tétragone DEFG ainsi que les deux diagonales constituent trois 

 paires de droites telles que chacune d'elles admet un système de diamètres conjugués paral- 

 lèles aux asymptotes de l'hyperbole {H) et par suite aussi aux diamètres conjugués égale- 

 ment dirigés des deux ellipses. Et comme le tétragone DEFG peut être quelconque, pourvu 

 qu'il soit convexe, nous arrivons ainsi au théorème général suivant: 



Etant donné un tétragone convexe, si par un point quelconque on mène des droites pa- 

 rallèles aux côtés opposés et aux deux diagonales du tétragone, les trois paires de droites ainsi 

 obtenues admettent toujours un système de diamètres conjugués commun. De plus, toute ellipse 

 circonscrite au tétragone possède une paire de diamètres conjugués parallèle au même système. 



Si parmi les ellipses circonscrites il y a un cercle, ce qui exige que les deux 

 angles opposés du tétragone soient supplémentaires, les diamètres conjugués dont il s'agit 

 sont perpendiculaires l'un à l'autre et respectivement parallèles aux axes de l'ellipse circon- 

 scrite. Cette dernière propriété a été indiquée par Poncelet, qui a fondé là-dessus une méthode 

 simple pour construire les axes d'une ellipse donnée. 



Dans le cas que nous venons de considérer, à savoir celui où les deux ellipses s'entre- 

 coupent en quatre points, il peut arriver que quelques-uns de ces points coïncident. On aura 

 alors deux ellipses qui, suivant les circonstances, peuvent 1<* se toucher en un point et se 

 couper dans deux autres, 2" se toucher en deux points, 3° avoir entre elles un contact 

 de second ordre en un point et se couper en un autre, 4° avoir entre elles un contact 

 de troisième ordre en un point. Dans aucun de ces cas, elles n'ont de corde commune 

 idéale. 



4. Uune des ellipses est enfermée dans Vautre. — • Dans ce cas, comme dans le pre- 

 mier, les cordes communes ne peuvent être qu'idéales. Nous savons qu'il doit en exister au 



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