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L. Lindelöp. 



Fig. 4. 



moins deux et il est facile de s'en assurer par la considération de la Fig. 4, où l'ellipse (C) 

 est extérieure à {C). Le rapport 7,, qui est nul au point d'intersection E de l'hyperbole 



avec l'ellipse C, a pour limite ^ lorsque le cen- 

 tre des cordes s'avance suivant l'hyperbole vers 

 X=co. Et comme nous avons supposé ^>1, 



il s'ensuit qu'il doit y avoir sur le prolongement 

 de l'arc d'hyperbole CE un point P où le rapport 

 dont il s'agit devient = 1 . Ce point est alors le 

 centre d'une corde commune idéale. Dès lors, il 

 doit y avoir une autre corde de même espèce dont 

 le centre P' est diamétralement opposé à et 

 par conséquent situé sur l'autre branche de l'hy- 

 perbole. 



Dans le cas où l'ellipse (C) renferme l'autre (C), on prouve par un raisonnement 

 semblable qu'il doit y avoir deux cordes communes idéales, dont l'une a pour centre un point 

 situé sur la branche d'hyperbole qui s'étend de l'ellipse extérieure vers Y= 00 , et l'autre un 

 point de l'hyperbole qui est diamétralement opposé au premier. 



Il résulte de la discussion précédente que deux ellipses quelconques, situées dans un 

 même plan, ont en général au moins une corde idéale commune, excepté dans le seul cas où 

 elles s'entrecoupent en quatre points, dont deux ou plusieurs peuvent coïncider. 



Après cette discussion préliminaire nous pouvons entamer la question de la transfor- 

 mation projective des coniques, ou plutôt des ellipses dont nous nous occupons uniquement 

 ici. A cet effet nous allons montrer d'abord que deux sections elliptiques d'un même cône 



ont toujours une corde commune située dans l'intersection 

 de leurs plans, et qui est réelle ou idéale suivant que 

 les deux plans se rencontrent dans l'intérieur ou à l'exté- 

 rieur du cône. 



La première partie de cette proposition est évidente 

 en elle-même. Pour en démontrer la seconde, nous con- 

 sidérons le plan diamétral qui dans le cône divise en par- 

 ties égales toutes les cordes parallèles à l'intersection MN 

 (Fig. 5) des plans des deux ellipses (C) et (C). Ce plan 

 diamétral coupe le cône suivant deux génératrices SA, 

 SB et les ellipses suivant leurs diamètres AB et CD, qui 

 prolongés se rencontrent en un point de la droite MN. 

 Ce point est le centre d'une corde idéale de l'ellipse (C) relative au diamètre AB et en même 

 temps d'une corde idéale de l'ellipse (C) relative au diamètre CD. Ces cordes ont même 

 direction, à savoir celle de la droite MN; mais il faut prouver qu'elles sont égales entre elles. 

 A cet effet nous menons par un point /du diamètre CD un plan parallèle à celui de l'ellipse 

 (C). Ce plan coupe le cône suivant une troisième ellipse (C") et le plan diamétral suivant 



Fig. 5. 



Tom. XXXV. 



