Sur les polygones de Poncelet. 13 



un diamètre HK de cette ellipse. Les ellipses (C) et (G") ont une corde réelle commune, 

 passant par I, ce qui donne lieu à l'égalité 



p"HI-IK = p'CI-lD, 



p' et p" étant des constantes qui caractérisent respectivement les ellipses (C) et {C"). Or, 

 l'ellipse (C") étant conforme à (C), on aura évidemment, en désignant par p la constante 

 correspondante relative à cette dernière ellipse, p" =p. D'autre part, la similitude des trian- 

 gles cm et COÅ d'un côté et de IKD et OBD de l'autre conduit aux analogies 



m _A0 IK — ?^ 

 CI~CO' ID ^ DO- 



Par suite l'égalité précédente amène cette autre 



pAO-BO=p'CO-DO, 



qui exprime que les carrés des demi-cordes et par conséquent les cordes elles-mêmes sont 

 égales, d'oÎT il résulte qu'elles se confondent en une corde commune idéale des deux ellipses, 

 c -q • f- d. 



Supposons maintenant que l'un des plans sécants, soit celui de l'ellipse (C), passe 

 par le sommet S du cône; la section infiniment petite est à considérer comme une ellipse 

 conforme à celles des sections parallèles. On aura alors, en désignant par c la demi-longueur 

 de la corde idéale commune, c'^=p' • OS ^, d'oi^i 



c'est à dire que =^ représente, dans la section infiniment petite dont il s'agit, le rapport des 

 OS 



diamètres conjugués parallèles respectivement aux droites OM et OS. 



Admettons encore que la section considérée soit circulaire. Alors OM sera perpendi- 

 culaire à OS et p' sera égal à l'unité, en sorte que OS = e. 



Lorsque deux ellipses, situées dans un plan, ont une corde idéale commune, il est, 

 d'après cela, facile de trouver un centre de projection d'où elles sont vues comme les pro- 

 jections de deux cercles, situés dans un autre plan. Pour cela on n'a qu'à mener par le 

 milieu de la corde commune un plan perpendiculaire à celle-ci et de construire dans ce plan 

 une circonférence de cercle avec comme centre et la demi-corde comme rayon. LTn point 

 quelconque S de cette circonférence peut alors être pris pour centre de projection. En effet, 

 les deux cônes qui ont S pour sommet et les deux ellipses pour bases auront l'une et l'autre 

 leurs sections circulaires parallèles au plan mené par le sommet S et la corde commune. 



Comme deux ellipses données ont, en général, au moins une corde idéale commune, à 

 l'exception du seul cas où elles s'entrecoupent en quatre points, nous sommes donc autorisé 

 à conclure qu'elles peuvent être considérées, dans tous les autres cas, comme les projections 

 de deux cercles situés dans un même plan. Les polygones inscrits ou circonscrits à ces 

 cercles donnent évidemment, dans cette projection, lieu à des polygones de même espèce in- 



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