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scrits ou circonscrits aux ellipses dont il s'agit. L'étude de ces polygones se simplifie par 

 là essentiellement. 



Dans une note Sur les polygones au plus petit périmètre circonscrits à une ellipse don- 

 née 1), j'ai démontré qu'il existe une infinité de polygones de n côtés circonscrits à une el- 

 lipse pour lesquels le périmètre satisfait aux conditions du minimum, le point de contact d'un 

 des côtés avec l'ellipse pouvant être choisi à volonté, et que tous ces polygones ont même 

 longueur de périmètre. Dans une note supplémentaire ^) j'ai établi que le lieu des sommets 

 de tous ces polygones est une ellipse homofocale à la première. Nous avons donc ici une 

 espèce particulière de polygones de Poncelet qui se rapporte au cas où les deux ellipses sont 

 homofocales. Mais outre la propriété de minimum que nous venons de signaler, ces poly- 

 gones possèdent une autre propriété, non moins remarquable, celle d'avoir le plus grand péri- 

 mètre parmi tous ceux de même espèce qui sont inscrits dans l'ellipse extérieure. 



Soient, en effet, (E) et (-E"), (Fig. 6) deux ellipses homofocales et MP, PN deux 

 côtés adjacents d'un polygone inscrit dans l'une d'elles et circonscrit à l'autre; je dis que 



MP+PN est >MP' + P'N, P' étant un point quel- 

 conque autre que P pris sur le segment MPN de l'el- 

 lipse {£'), soit sur l'arc MP. Rappelons-nous d'abord 

 que, d'après un théorème connu, deux tangentes PM 

 et PN, menés d'un point P d'une ellipse {E) à une 

 autre ellipse homofocale (£"), sont symétriques par 

 rapport aux rayons vecteurs qui joignent le point P 

 aux foyers communs des deux ellipses, et par consé- 

 quent également inclinées vers la tangente de l'ellipse 

 {E) au point P. De même, si du point P' on mène 

 deux tangentes à l'ellipse intérieure, celles-ci seront 

 également inclinées vers la tangente de l'ellipse exté- 

 rieure au point P'. d'où il résulte qu'en désignant par a et /S les angles formés de part et 

 d'autre par les cordes P'M et P'N avec cette dernière tangente, on aura « <C ß. Supposons 

 maintenant que le point P' se déplace sur l'ellipse (E) d'un arc infiniment petit ds dans la 

 direction de M vers P; la corde MP' prendra un accroissement cou a- ds, tandis que la corde 

 P'N diminuera de cos (i-ds. La variation totale de la somme de ces cordes sera donc 



(cos ce — cos ß) ds, 



et comme cette variation est essentiellement positive, tant que le sommet P' reste compris 

 entre M et P, et ne s'évanouit que dans ce dernier point, il s'ensuit que cette somme croît 

 constamment lorsque P' se meut de M vers P. Il en est de même, si le sommet P' se 

 trouve sur l'arc NP et se déplace de N vers P. Donc la somme MP+ NP est un maximum 



') Acta Societatis Scientiarum Fenn., Tom. XXXI, n» 4, 1903. 

 2) Ibidem, Tom. XXXIII, no 3, 1904. 



Tom. XXXV. 



