Sill- les polygones de Poncelet. 15 



absolu, c-q-f-d. La même chose peut se dire de la somme de deux autres côtés succes- 

 sifs quelconques du polygone inscrit dans l'une et circonscrit à l'autre des ellipses homofo 

 cales, d'oîi l'on conclut que ce polygone a effectivement le plus grand périmètre parmi tous 

 ceux de même espèce qu'on peut inscrire dans l'ellipse extérieure. 



Ce caractère appartient à tous les polygones, en nombre infini, qui dans le cas actuel 

 peuvent être inscrits dans l'une et circonscrits à l'autre des ellipses données et dont le péri- 

 mètre, comme nous l'avons vu, est constant. Ainsi ces polygones jouissent de la double pro- 

 priété de présenter un maximum ou un minimum de périmètre, suivant qu'on regarde l'ellipse 

 extérieure ou l'ellipse intérieure comme étant donnée. 



Cette proposition a été énoncée dès 1843 par M. Chasles dans une note intitulée: 

 Propriétés générales des arcs d'une section conique, dont la différence est rectifiable, insérée dans 

 les Comptes rendus de l'Académie des Sciences, Tome XVII page 838. Il l'a signalée parmi 

 plusieurs autres théorèmes comme un résultat préliminaire de ses recherches sur les arcs 

 dont il s'agit, sans en donner toutefois aucune démonstration. Mais il promet de la faire 

 connaître „dans une prochaine communication qui aura pour objet les propriétés des coniques 

 sphériques." Cependant il semble ne pas avoir réalisé cette intention. Du moins, c'est en vain 

 que j'ai cherché la communication dont il parle dans les tomes suivants des Comptes rendus. 

 C'est peut-être pour cette raison que la proposition elle-même est, à ce qu'il -semble, tombée 

 dans l'oubli et qu'elle n'a pas obtenu la place qui lui revient parmi les vérités élémen- 

 taires, n'étant pas même mentionnée dans les traités de géométrie analytique. Quoiqu'il en 

 soit, j'ai cru qu'une démonstration directe de cette proposition ne manquerait pas d'avoir quel- 

 que intérêt. 



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