4 CALLANDREAU, SUR LE CALCUL DES PERTURBATIONS. 
sont propres, avec un changement de variables, å déterminer 
le rayon vecteur troublé r et Vintégrale v des angles dont 
parle LAPLACE. 
Seulement, il faut remarquer que l'axe OX, 3 partir du- 
quel on compte w, se déplace d'une manieére déterminée en 
méme temps que le plan mobile. 
Désignons avec HANSEN (Auseinandersetzung, p. 71) par 
oc PTangle compris entre la partie positive de lPaxe des X et 
le noeud ascendant du plan XY sur la plan fondamental «y, 
par 9 Pangle compris entre la partie positive de Faxe des x 
et le noeud ascendant ci-dessus mentionné; enfin soit i l'in- 
elinaison du plan XY sur le plan sy. Iraxe OXI pendant 
un élément de temps, tourne autour du rayon vecteur, et la 
condition 
dö = cosi d9 (Auseinandersetzung, p. 13) 
a lieu. 
Il est en måme temps nécessaire de déterminer la posi- 
tion du plan XY de PF'orbite å chaque instant. Des considé- 
rations mécaniques simples mais que je supprime pour abré- 
ger conduisent ä ces deux formules 
öl LG 5 dA : dA 
sin i då = hr sin (v — 0) 37 dt, di = hr cos (v — o) 7 dt 
dans lesquelles on reconnaitra les resultats de HANSEN (Aus- 
eimandersetzung p. 80). 
IT. Sans qu'il soit besoin d'entrer dans plus de détails, 
ou voit qu'on est arrivé å ce résultat de développer en quel- 
que sorte F'orbite troublée sur un plan. LAPLACE, considerant 
que les quantités du second ordre étaient presque toujours 
négligéables, confondait la longitude dans PForbite avec celle 
comptée sur le plan de F'orbite å F'origine; la conception de 
HANSEN constitue un réel progrés. 
Je vais montrer maintenant le lien de la méthode de 
HANSEN avec celle de LAPLACE, quand on a en vue les per- 
turbations du rayon vecteur et de la longitude. 
Dans la théorie du mouvement elliptique, dit LAPLACE 
(livre II, artiele 47), on a obtenu les expressions des coor- 
données développées suivant les sinus et cosinus des mul- 
tiples de P'anomalie moyenne; eu particulier, 7 s'exprime au 
