BIHANG TILL K. SV. VET.-AKAD. HANDL. BAND 11. N:o 19. 9 
ohne dass das A-U in irgend einer Form herangezogen wird. 
Dass diese Heranziehung auf mehreren Wegen geschehen 
kann, findet sich in $ 9 der »Grundlagen einer allgemeinen 
Mannigfaltigkeitslehre» kurz auseinander gesetzt. Ich habe 
mich dazu schon fräher (Math. Annalen, Bd. 5, p- 123) be- 
sonderer actualunendlicher Mengen rationaler Zahlen bedient, 
welche ich Fundamentalreihen nenne. Herr E. HEINE ist mir 
darin gefolgt (Borchardts Journ. Bd. 74, p. 172); seine Ab- 
weichungen beziehen sich nur auf die Ausdrucksweise, in der 
Sache stimmt er mit mir ganz äberein. Ich erwähne hier 
den wunderlichen, meines Erachtens rickschrittlichen Ver- 
such des Herrn J. MoLK (Acta math. t. VT), die irrationalen 
Zahlen gänzlich aus dem Gebiet der höheren Arithmetik zu 
vertreiben; Andere gehen noch weiter und wollen diese 
Zahlen auch in der Functionentheorie nicht dulden; es bleibt 
abzuwarten, welchen Erfolg diese Bestrebungen haben wer- 
den. Man kann aber noch aus einem andern Gesichtspunkte 
das Vorkommen des Actualunendlichen und seine Unentbehr- 
lichkeit sowohl in der Analysis, wie auch in der Zahlen- 
theorie und Algebra unwiderleglich darthun. Unterliegt es 
nämlich keinem Zweifel, dass wir die veränderlichen Grössen 
im Sinne des potenzialen Unendlichen nicht missen können, 
so lässt sich daraus auch die Nothwendigkeit des actualen 
Unendlichen folgendermassen beweisen. Damit eine verän- 
derliche Grösse in einer mathematischen Betrachtung ver- 
werthbar sei, muss strenggenommen das »Gebiet» ihrer Ver- 
änderlichkeit durch eine Definition vorher bekannt sein; 
dieses »Gebiet> kann aber nicht selbst wieder etwas Verän- 
derliches sein, da sonst jede feste Unterlage der Betrachtung 
fehlen wirde; also ist dieses »Gebiet» eine bestimmte actual- 
unendliche Werthmenge. 
So setzt jedes potenziale Unendliche, soll es streng ma- 
thematisch verwendbar sein, ein Actualunendliches voraus. 
Diese »Gebiete der Veränderlichkeit> sind die eigent- 
lichen Grundlagen der Analysis sowohl, wie der Arithmetik 
und sie verdienen eg daher in hohem Grade, selbst zum 
Gegenstand von Untersuchungen genommen zu werden, wie 
dies von mir in der »Mengenlehre» (théorie des ensembles) ge- 
schehen ist. 
Hat aber hiermit das Actualunendliche in Form actual- 
unendlicher Mengen sein Birgerrecht in der Mathematik 
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