milANU TILL K. SV. VKT.-aKAD. IIANDL. BAND 9. N:0 5. 5 



Mod. j if(:)ih\ < eil\^2 lds = til\^2{iUarc.ac), 



ou 



(3) Mod. / [f{z)dz\ < 4£iV25/ + eilt2arc .ae, 



en appelant cucorc ei la valeur maximum de £ et Bi Faire 

 du carré ahcdef. En ajoutant toutcs Ics inégalités (2) et 

 (o) et désiguant par ij la' valeur maximum des £/, on a ä 

 fvrtlori 



Mod. / (f{z)dz\ < /; V2 (4 A + IS); 



(O 



ou A désigne la somme des aires des earrés qui ont une par- 

 tie II Tintérieur de Tairc A et S la lon^ueur totale du con- 

 tour 6*. On voit que le secoud membre est le produit d'un 

 facieur (jui a une limite supérieurc finie par un faeteur ii\2 

 qui peut étre rcndu aussi petit qu'on le voudra. Or le 

 premier membre a une valeur détcrminée; donc on doit 

 avoir 



^f(z)dz = 0. 



'-'(C) 



A la vérité, la demonstration suppose, pour etre rendue 

 absolumcnt rigoureuse, que Ton peut prendre la longueur / 

 ussez petite pour (|ue tous les modules des quantités désignées 

 par £ soient eonstamment moindres qu'un nombre donné a 

 Tavauce, aussi petit qu'on le voudra. Cest ce qui résulte des 

 hypotlieses faites sur f{z) et sa dérivée. En efFet, cette déri- 

 vée étant supposée continue a- Fintérieur de Faire A et sur 

 le coutour lui-mOme, on sait, qu'étant donnée une quantité 

 positive a, arbitrairement clioisie, on pourra toujours trouver 

 une autre quantité positive ö telle que 



l,od.(«i±4=^ -/(.))< a, 



