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'u théoréme prouvé par moi au tome II, page 419, des 

 Acta Mathem., on sait qiie si P possede une puissance supéri- 

 eure a la premiére, on a P'=R + P(-^-), ou R est ou de la 

 preralére puissance ou fini, mais ou Pi—) est un ensemble par- 

 fait. On voit donc de suite que Tétude de la puissance des 

 ensembles P' se réduit a Tétude de la puissance des ensembles 

 parfaits, sujet qui sera traité dans les pages suivantes, ou je 

 montrerai que tous les ensembles parfaits de points situés dans 

 un espace continu a n dimensions, ont la méme puissance, 

 savoir celle de Tintervalle O 1. 



Pour fournir cette demonstration, je partagerai le théoréme 

 dans les deux suivants: 

 Théoréme A. 



>:!Tous les ensembles linéaires parfaits ont la puissance de 



Vintervalle continu O /. 



Théoréme B. 



»Tous les ensembles parfaits situés dans un espace continu 

 a n dimensions, ont la puissance de Vintervalle continu O 1. 



Avant de commencer la preuve du théoréme A^ j'énoncerai 

 un théoréme auxiliaire dont j'aurai besoin ci-dessous: ^) 



»Si P a une puissance plus grande que la premiére, et si 

 Q est un ensemble de points de la premiére puissance, P et 

 Q n'ayant pas de points communs, on sait que P+Q a la 

 méme puissance que P.» 



Soit en effet P^ une partie intégrante de P et appartenant 

 a la premiére puissance. Pj étant alors de la méme puis- 

 sance que P^ + Q on sait que (P — P^) + Pi a la méme puis- 

 sance que (P — Pj)-|-Pj+Q ou, en d'autres termes, que P a 

 la méme puissance que P+Q. 



') La prouve en a été donnée par M. Cautor. Voir Acta Mat., Tome 

 II, pag 320. 



