4 BENDIXSON, LA PUISSANCE DES ENSEMBLES PAUFAITS DE POINTS. 



On prouve de la méme maniéve que: 



»Si P a une piiissance plus grande qvie la premiere, et si 

 Q en est une partie intégrante, mais de la premiere puissance, 

 P — Q a la méme puissance que P.» 



Si nous passons maintenant a la preuve du tliéoréme A, 

 il y a lieu d'observer préalablement qu'il existe deux classes 

 fondamentales d'ensembles linéaires parfaits savoir ceux qui 

 ne förment nulle part d'espace continu, et ceux qui förment 



partout un espace continu dont Tintervalle continu O 1 



est un representant. Tous les autres ensembles linéaires par- 

 faits en sont composés. 



Je vais donc étudier d'abord la puissance d'vin ensemble 

 linéaire parfait qui ne forme nulle part un espace continu. 



J'ai prouvé (Acta Mathematica, Tome II, pag 427) que: 



»Chaque ensemble parfait 5 qui ne forme nulle part 

 d'espace continu, et qui est situé dans un espace continu a 

 une seule dimension, peut étre exprimé comme le premier 

 ensemble dérivé d'un ensemble de la premiere puissance Q, 

 dont les points sont les points extremes d'étendues en dedans 

 desquelles ne tombe aucun point de S.» 



S étant situé dans Fintervalle a . . . b {a<ib) de Taxe réel 

 et a, /? («</?) étant deux points de S constituant les points 

 extremes d'une étendue quelconque dans la quelle il n'existepas 

 de points de aS, je désigne par Q„ Tensemble de tous les 

 points cf, et par Q^ celui de tous les points (3. Je sais donc 

 que Qa = S= Q'jj. 



Cest cette circonstance qui m'a conduit a la pensée que les 

 points de Qp (ou Q,<) jouent par rapport aux points de »S — Q,?, 

 un röle analogue a celui des nombres rationnels par rapport 

 aux nombres irrationnels. 



Sacliant que chaque nombre de Vintervalle O . . . . 1 peut 

 s'exprimer comme la limite d'une serie de nombres 



^ ' 2'*» 2'"2 2"'/. 



^^ tA- <. 7^ < < 77^ . . . . , i'ai essayé d'établir entré les 



points de Q- et ceux de la forme — une correspondancecom.- 



pléte de facon qu'a la serie -^ , ~ ^^ corresponde 



