BIHANG TILL K. SV. VET.-AKAU. HANDL. BAND. 9. NtO 6. 7 



|(ou i3^p est le plus petit des ft^^ (^ = 1, 2...,« — 1) situés 



dans /'//'"^^../^); 



^ ^' '^2 ;■ + 1 /\. ■' ■ Py + i 



'^ '^^ P2.'* — ' '2." — 2 • • • L* 



Cet arraugement des points de Q opéré, je dois d'abord 

 prouver que chaque point de Q y occupe une place déter 

 minée. Or cette preuve est facile. 



Gar, soit /i' un point quelconque de Q^. L'étendue dont 

 (i' est le point extreme a donc une longueur déterminée /. 

 Il existe par conséquent un nombre fini des étendues a . . . /? 

 dont la longueur est supérieure ou égale a 1. Soit rn ce 

 nombre. — Ou voit des lors immédiatement que le point /?' est 



m. 



nécessairernent un des points /j^' '^ pour lesquels ,« = 1, 2 

 j' = 1 , ... 2"-~^ . De cette observation on conclut aussi qu'en 

 prenant m assez grand, on a Tétendue appartenant au point 

 PjT (/f > on) inférieur a (5, d étant aussi petit que Ton voudra. 

 Je vais maintenant prouver qu'il existe une correspondance 

 complete entré les ^^^ et les hf' , de sorte que ?/jj in^ n^ n^ 

 étant quatre nombres entiers quelconques tels que ?ii<2'"'~^, 

 712 < 2'"- ~^, [r^ est plus grand ou plus petit que ^^"^^\ selon 

 que b est plus grand ou plus petit que b . 



En supposant ce théoréme vrai pour m^^m'>mo, je dé- 

 montrerai qu'il est également vrai pour m^ < m + 1 > m^. 



Soient donc m^^m + 1'^m^ et ?7j<2'"i~~^, no<2'"2 — 1. 

 Dans le cas ou ni 7Wj ni m^ ne sont égaux a m + 1 , le théo- 

 réme est vrai d^aprés notre supposition. Restent donc les 

 trois cas suivants: 



1) m^ = m^ ^ m + \ 



2) ?Wi < m^ = m + 1 



3) ???2 ■< w?i = m + \ 



Dans le premier cas, on voit de suite que n■^ est > ou < »2.,, 

 selon que t^'" "" '^ > ou < ft^'"""'). Mais /?(" + '^est> ou<//'" +"'^ 

 selon que n^ > ou < n., , ce qui démontrc le théoréme. 



