8 BENDIXSON, LA PUISSAXCE DES ENSEMBLES PAKFAITS DE POINTS. 



Le second cas, et le troisiéme se traitent de la maniére 

 suivante. 



Soit par exemple jn^ = m + 1 . Il existe donc un nom- 

 bre entier I tel, qiie 6^"' "*" < h^'"^- < ^/"''"^ , d'ou Ton conclut 

 que le nombre des quantités Z>^,"' "*" qui sont > 6^'"' , est egal 



a 2'" — I . Or a chaque nombre ij;"^ > ^J;"'^ (u = 1 , 2 m) 



correspond, selon notre supposition, une quantité /5 >• /9 " . 



On voit donc que le nombre des quantités 6^, pour ii =1, 

 2 . . . m qui sont plus grandes que h est egal au nombre 

 des quantités (j^ pour ^u = 1, . . . m qui sont plus grandes que 

 //'""^ . Il en résulte que le nombre des quantités b "*" ^^ qui 

 sont plus grandes que 6^"' est egal au nombre des quantités 

 1^''^'^ qui sont > (j" , ou, en d'autres termes, que le nombre 

 des quantités z?^"'^^^ qui sont > /5|,"''' est egal a 2"' — A. D'ou 

 Ton conclut que 



n(m + T-) ^ ai^h) ^ pim + 1) 

 Pl ^ P»), ^ t^l + 1 



Mais 5^'"^^ étant > 6^'"'^ ou < 6^""^ selon que h, > I ou < A 



et //""^ étant > z^"" ou < 8^^ selon que n, > A ou < X on 



voit que (i':f est > /i^,';"^ ou < /^J;;") selon que 6^^^ est > 5;^';'> 

 ou < 6^"'^ . ' 



Il est maintenant facile de s'assurer que le théoréme est 

 vrai pour /« = 2 , d'oii Ton conclut que le théoréme est tou- 

 jours vrai, c'cst a dire qu'il existe une correspondance compléte 



entré les 6^^*^ et les ^^^\ 



G. q. f. d. 



A cliaque point de S — Q,ije puis faire correspondre une serie 



^^('."i) <- ^(.«2) <- ^^^y. _ ^ ^ tgijg que la limite de cette serie 



est égale au point en question. 



Ces notations faites, je prouverai maintenant que Tinter- 

 valle continu O .... 1 a la méme puissance que »S — Q- . 



