10 BENDIXSON, LA PUISSANCE DES ENSEMBLES PARFAITS DE POINTS. 



Soit p un point quelconque de S — Q^i et désignons la serie I 

 des i3[, ajDpartenant ä p, par 



Pr, ' i^y, ■•■■ /^.. 



i 



00 



La serie correspondante des h 



h^^'^\ b^'^\ .... h''"'\ . . . 



détermine donc un point g de O .... 1 , auquel point q doit 

 nécessairement correspondre dans Tarrangement ci-dessus le 



point p de »S — Q?. En efFet la serie b appartenant au point 



q, détermine a son tour la serie des /^^;"^ c'est-a-dire le point j:». 



On voit enfin qu':i chaque point de S — Q^j ne corresjDond 

 pas plus d'un point de Tintervalle O .... 1. 



J'ai donc montré qu'a. chaque point de lintervalle O .... 1 

 correspond un et pas plus d'un point de *S — Q^i, et qu'a 

 chaque point de 5 — Q.; correspond un et pas plus d'un point 

 de 0....1. 



Ainsi, rintervalle ö .... 1 a la méme puissance que S — Q.?. 

 Or Q; a la premiére puissance, et par conséquent Tintervalle 

 O .... 1 a la méme puissance que S. 



J'ai donc prouvé que S étant un ensemble linéaire parfait 

 qui ne forme nulle part d'espace continu, S a la méme puis- 

 sance que rintervalle O .... 1. 



Soit maintenant S un ensemble linéaire parfait quelconque; 

 je vais prouver que /S a la méme puissance que Tintervalle 

 continu Tintervalle O .... 1. 



Ou il existe un intervalle y . . . . y' tel, que chaque point 

 de y . . . . y' est un point de S, mais que dans chaque inter- 

 valle 7 — S . . . . y et y' . . . . y' + å il y a des points qui n'ap- 

 partiennent pas a S, ou il n'y a pas d'intervalle pareil. 



S'il n'y en a pas, le théoréme est prouvé. 



Keste donc le cas oii il existe des intervalles pareils. L'en- 

 semble de tous les intervalles 7 .... 7' a la premiére puissance. 

 L'ensemble de tous les points d'un intervalle de Tespéce a la 

 méme puissance que Tintervalle continu O .... 1 . On voit 

 donc que Tensemble Py des points de tous les intervalles 

 y . . . . y' a la méme puissance que Tintervalle continu O .... 1. 



