BIHANG TILL K. SV. VET.-AKAD. HANDL. BAND 9. N:0 6. 11 



Soit S — Py = Q. On sait quo Q' = R + Qi^^) ou 7^ est 

 de la premiére puissance mais Q(--) est un eusemble parfait 

 qui ne forme nulle part d'espacc continu ou est zero, d'ou Ton 

 voit que Q' a ou la puissance de rintervalle O .... 1 ou la 

 premiére puissance. 



Mais les points de Q qui n'appartiennent pas h, Q sont tous 

 des points extremes des intervalles y . . . . y' . L'ensemble des 

 points de Q' qui n'appartienuent pas a Q est donc de la pre- 

 miére puissance, d'ou Tou conclut que Q a la méme puissance 

 que rintervalle O .... 1. 



On voit donc que aS a la méme puissance que Tintervalle O 1. 



La démonstratien du théoréme A est donc fournie. 



Avant de nous occuper de la preuve du théoréme B, 

 nous énoncerons un corollaire important. 



»Si P est un ensemble linéaire de i^oints, et que P' ait une 

 puissance supérieure a la premiére, P' a la méme puissance que 

 rintervalle continu O .... 1». 



La preuve en est maintenant évidente. Nous savons que 



r^E + Pi-''-) 



oh R est de la premiére puissance, et oii Pi-^) est parfait. 

 P' a donc la méme puissance que P{--) c'est a dire que 

 rintervalle O .... 1. 



Je passé maintenant a la demonstration du théoréme S. 

 Soieut .Tj x., . . . Xv . . ■ Xn n quantités variables indépendantes 

 dont chacune peut prendre toutes les valeurs reelles entré 

 — 00 et + CO . S est alors situé dans Fespace continu de n di- 

 mensions forraé par tous les systéraes de valeurs x^x^...Xn. 



Comme je puis diviser tout Tespace continu infini ainsi 

 formé en un ensemble d'espaces continus finis, ensemble ayant 

 la' premiére puissance, il suffira évidemment de prouver que 

 la partie de S qui tombe en dedans et sur la limite d'un espace 

 continu fini pareil, a ou la premiére puissance ou la méme 

 puissance que Tespace continu O .... 1. 



Je n'ai donc besoin de le prouver que pour la partie de S qui 

 tombe en dedans et sur la limite de Tespace continu fini formé 

 par tous les systémes de valeurs x^ . . . Xn ow chaque .^v peut pren- 

 dre toutes les valeiirs reelles entré O et 1. Soit P la partie de 5 

 en question et soit A Tensemble de tous les systémes de 



