12 BENDIXSON, LA PUISSANCE DES ENSEMBLES PARFAITS DE POINTS. 



valeurs a'j . . . . Xn chaque variable prenant toutes les valeurs 

 entré O et 1. Il faut donc évidemment qiie chaque point de 

 P' soit aussi un point de P. 



Soient i\ ^^ • • • • bn '^ quantités variables indépendantes, 

 dont chacune peut prendre toutes les valeurs irrationnelles en- 

 tre O et 1. Soit A^ lensemble de tous les systémes de valeurs 

 ij . . . . i„, et Py la partie de P qui appartient a Ä^ . 



Soient Qi . . . . Qn n quantités variables indépendantes, dont 

 chacune peut prendre toutes les valeurs rationelles entré O et 1 

 chaque variable x,. peut donc étre remplacée par les deux vari- 

 ables I et Q, . Soient A^ Fensemble de tous les systémes de 



valeurs Qy Sy bi — i £,• + i • • • b» • ^^ = 1 • 2 . . . , ?« A^ lensemble 



de tous les systémes de valeurs q,, q^^ Ii • • • sr — i ^v + \--- 

 ifi + i i',) + 1 . • . Sn etc. et enfin ^,i + 1 Tensemble de tous les 

 systémes de valeurs q^ q^ . ■ ■ Qn, et P^ P^ . . . Pn + i les parties 

 de P qui appartiennent a A.-, A^ . . . A,i + 1 . 



On a donc les deux égalités 



A =-. Ay + A., + . . . + A„ + 1; P = Py + P.^ + . . . + Pn +1 



Il nous faut donc prouver que P^ P^ . . . Pn + \ ont ou 

 la premiére puissance ou la méme puissance que Fintervalle 

 O .... 1. Commencons Dar P^ . 



Soit i une quantité variable qui peut prendre toutes 

 les valeurs irrationnelles entré O .... 1; je puis alors faire corre- 

 spondre a chaque valeur de i un systéme de valeurs ^j . . . . ^„, 

 et vice versa, a chaque systéme de valeurs ^j . . . . |„, une valeur 

 de ^. On y procéde de la maniére suivante:^) 



Chaque valeur de i' peut s'exprimer en une traction con- 



tinue infinie t que nous désignerons par («! 



av 



a 



2 



«r ■ • •)• ^ cette valeur de ^ je fais donc correspondre 



bn 



le systéme suivant de valeurs de tj . 



•rl — (^1 ' «« + 1 ) Cdn + l, • • ■ . C(/A,n + l ' ■ . .) 

 tv = \C(t 5 C(n + I' ? C(2n + 1 j . • . • «/tn + v ■ ■ • •) 



sn = («7i , «2« , . . . • «f/t + l)i 



') Yoir: Cantor Une contribiition å la théorie des ensembles Acta 

 Mathematica T. II. page 315. 



