14 BENDIXSON, LA PUISSANCE DES ENSEMBLES PAKFAITS DE POINTS. 



A Taide de la théorie des fractions continues infinies'), je 

 puis maiDtenant conclure que 



>(\< 



fll + 1 



«;. + Ii 

 pour A = 1, 2 ... . {m + l)n 



On voit par la que si q a est sit\ié dans rintervalle q — å^ 

 . . . . q + f)i on a 



q,a = (/?i 5 /?2 • • • • /^(»i + 1) n Ato + l)n + \ ■ • • ■)' 



ou /?,, ^ a^ pouv 1' = 1 , 2 . . . . (m + 1) n . 



Le point 2^|^^, est alors déterminé par les égalités 



bl =" (<^l ) 0.n+ \- • ■ • Clmn + 1 /^(m + 1) n + 1 • • • • ) 



§)' — (a,, , a„ + ,. , .... <Xmn + )■ P(to + 1) re + i J 



bra — V*^« ' ^2« ) . • • ■ Cl^nti + n P{m +!)« + )' • • 



D'ou Ton conclut qiie 



I i'' — §1' I < (^ po^^i" x' = 1, 2 . . . . » . 

 On sait donc désormais que dans Tespace 

 $1 — ö' . . . . Il + d 



••) 



tombent des points p„. On sait aussi des lors que p est un 

 point limite de Pj c'est-a-dire un point de P. Or p étant en 

 outre un point de A^ , nous avons donc la preuve que p est 

 un point de Pj , et Ton sait alors aussi que le point corre- 

 spondant q est un point de Q^ . 



L'ensemble Qi — D (Q^ , Qi) ne peut donc contenir que 

 des points de Tintervalle O .... 1 qui correspondent aux nom- 

 bres rationnels, c'est-a-dire que Qi — D (Qj, Qi) a tout au 

 plus la premiére puissauce. De méme: 



Qi — I) (Qi , Qi) a la premiére puissance, et Q^ a donc 

 la méme puissance que Qi c'est-a-dire ou la premiére puissance, 

 ou la méme puissance que O .... 1 . 



Evidemment Teusemble P^ a donc aussi ou la premiére 

 puissance, ou la méme puissauce que Tespace continu O .... 1. 

 O Voir: Serret Cours d'algt;bre supérieure. 



