4 BENDIXSON, THÉOKEME AUXILIAIRE DE LA THÉORIE DES ENSEMBLES. 



d'un cercle ayant le point a pour centre et la quantité posi- 

 tive r pour rayon, j'y peux toujours inscrire un ensemble de 

 points isolés Q tel que Q' = P». 



Soit R une partie de P qui a la premiére puissance et 

 dont le premier ensemble dérivé cgalc P. 



Soient a + re'^^\ a + re'^2% . . . a + ?'e*^"^ . . . tous les points 

 dont R est composé et Sy s^- •-£„•■ ■ des quantités positives 

 croissantes telles que lim. e^ = 1 (v = cc). 



On voit alors sans aucune difficultc que Tensemble de 

 points 



a + reie^i% a + re^e^t^ . . . a + re^e^"'', . . . 



est Tensemble isolc Q cherclié. 



Ces observations faites, je procéde a la demonstration du 

 théoréme. 



Soit a un point appartenant a A et q^, q^ . . . Qv ■ • • des 

 quantités positives croissantes telles que lim. q» = oo. 



Je puis entourer chaque point x de Ä par un cercle de 

 rayon r egal ä la distance entré w et le point le plus approché 

 de P, chaque point de Tintérieur de ce cercle étant par 

 conséquent un point de A. 



Soit en general Ey Tensemble de tous les cercles pareils 

 dont les centres sont assujettis a la condition 



Qy-i<\x — a\^Q^,. 



Les rayons de tous les cercles do E^ ont une limitc su- 

 périeure ^^ et Ton prouve aisément qu'il y a des cercles de 

 Tespéce dont le rayon égale g^. 



Désignons par C|'* un quelconque de ces cercles. S'il y a 

 parmi les cercles -ÉJj encore un dont le rayon ugale </, et qui 

 tombe tout a fait ä Textérieur de C\ nous le désignons par 

 C[y. En continuant ainsi on n'obtient évidemment qu'un nombre 

 fini de cercles C\ Cl . . . Q appartenant a E^ tombant a 



Textérieur Tun de Tautre et ayant tous pour rayon la quan- 

 tité ^j. 



Les rayons de tous les cercles de E^ tombant a Texté- 

 rieur de C\ C\ . . . C^ ont une limite supérieure g^ et il n'y 

 en a de méme qu'uu nombre lini de cercles C" , , . . . C 



