(^ BENDIXSON, THÉOKÉME AUXILIAIRE DE LA THÉORIE DES ENSEMBLES. 



Mais tous ces ccrcles étant situés Fun a Textérieur de Tautre le urs 

 rayons ont nécessairement pour limite iuférieure la quantité 

 zéro, d'oii Ton conclut qu'il existc des oercles appartenaut aux 

 C„ qui tombent tout a fait ii rintérieur de chaque entourage 

 voulu de (x ■— a). Par conséquent il existe aussi des points de 

 Q dans cliaque entourage de x = a ce qui fait voir que a est 

 un point de Q'. 



Il s'en suit quc P est contenu en Q'. 



Mais de Tautre coté on voit d'une nianiére tout analogue 

 que Q' ne peut conteuir d'autres points que P. 



On a par conséquent 



Q'= P. 



Soit maintenant Pj une partia de P qui embrasso son 

 premier ensemble dérivé Pj, je puis toujours de reusemble 

 isolé Q séparer une partie Qj telle que Q\ = P^. 



L'ensemble Q étant un ensemble de points isolés on peut 

 par conséquent ranger les points de Q en une serie. Soient 

 a, 02 • • • ^hi' • • • les différents points dont Q est composé. 



Soient f, £.>••• £„ • . . des quantités positives décroissantes 

 telles que lim. Sy = O (j/ = co). Je puis diviser tout le plan, 

 c'est a dire le domaine de la variable x, dans une serie de 

 carrés cliacune ayant son coté egal ä s^, et étant composée par 

 tous les points *• = ^ + rji ou <^' et /; sont réels et assujettis 

 aux conditions 



l -L, iJl . . . fl . . •/ 



me, ^,j£ {m + 1)^,. (m ^ \ ' ^ * " ^' " ' 



l 1, .^, . . . ft • • •! 



Soit P„ Fensemble de points formé en prenant de cliaque 

 carré dont le coté = s„ et oii est situé un point de Pj celui des 

 points tia qui y sont situés dont Findice .« a la moindre valeur. 



L'ensemble de tous les points différents de R^ Po • • • 

 Rt, . . . est donc évidemraent Fensemble Q^ cherché. 



Avant de finir je veux faire encore quelques observations. 



Je veux d'abord observer que si je puis inscrire dans 

 Fintervalle O ... 1 un ensemble Q. c tel que Q["-* = {x = 0), j'y 

 peux tout de méme inscrire un ensemble Qu + i tel que 



