4 M. CH. HERMITE. 



F(a;-{-2K) = — FOc) 



I FCV + 2K) ^ -F(.v) 

 ^^- I F0v-\-2iK') = -FOv) 



I F0r + 2K) = -\-FOr) 

 I F(x-\-2iK') ^ — F(.x) 



I F(a.- + 2K) = +F(a^) 

 ^^' \ F(x-\-2iK) = + F(aO 

 et j'en ferai successivement Tapplication aux fonctions: 

 Fiz) F{:) F{:) F{z) 



/(.) = 



m (./• — r) ' c)i. (.r — z) ' du (.r — .-) ' sm* (a; — c) " 



Considérant cVabord le premier oas, j'observe que toiites 

 les valeurs de c qui rendent le nuinérateur infini, et le déno- 

 minatcur nul, sont: z = iK' -\- 2)hK -\- 2niK\ z = x -]- 2niK 

 -\- 2niK\ m et n étant des nombres entiéres. On a donc a 

 rintérieiir du rectangle ABCD, qu'a considérer deux quantités 

 qui peuvent etre rameuées a 2: =^ iK', z = a-, pour en deduir 

 les residus correspondants, c'est a dire les coefficients de — 

 dans les développements suivant les puissances ascendentes 

 de £, de : F{iK'-\-s), F{.v-\-6). Soit a cet efFet, en écrivant 

 les seules termes qui contiennent e eu dénominateur: 



F{iK' + s)^'^-^j{ + ... -\- ^ 



ou sous une forrae préférable: 



F{iK' + s) = As-' + A^Dee-' +. • . + A„DU-K 

 En multipliant membre a membre avec Tégalité suivante; 



- — ; rrr, T ^ ksu (x — £ ) ^^ k \ snx — -7- D r stix -\- 



sn {x — iR — *) ^ ' L 1 •' I 



+ ^ Dl snx + ...+(- 1)" ^^ D: snx + ...], 



il vient pour le coefficieut de — dans le produit des seconds 

 membres, Texpression : 



k \_Asnx -f- Ay Dr snx + • . ■ -{- A,, D'',- stui]. 



L'autre résidu correspondent a 2; = x, ctant évidemnicnt 

 — F{.v), la relation <S == O donne la formule: 



F{.r) = k[A.w.r + A^ D,,.sHX + . . . -\- A„D", S7ix]. 



