6 M. CH. HEHJIITE. 



F{z) = Const — Ä-2 [^1 sii^x + A^_ D,, sn'x-\-. . . + ^„ 7>^~ ^ sn\vl, 

 qvii donnera comme les précedentes, aux inoyen des coefficieiits 

 A, Al,... le développement de F{a') en serie de sinus et de 

 cosinus. Ce point établi, je reprends Tégalité: 



F{iK'-}-€) = A£-'-\-A,D,e-^+ ...+A„I)U-'' 

 et observant que les formules: 



sn (IK' -{- .?■) 



en {iK' -f" ''^') = 



1 

 ksnx 

 dnx k' 



i ksnx ., /,, ik'\ 



iksn f 



{^'^' V) 



dii (iK' -\- x) = -. — — — 7- — JK 

 ^ ' ' isnx xn {ix, k ) 



permettent d'écrire : 



FiiK +.)= (i)" (I)' \ , 



^ ^ ' max snf>lj('x, —\ sitclu; k' \ 



je suis amcué a m'occuper de développement de - — _ suivant 

 les puissances asccndantes de la variable. Or un nioyen simple 

 de Tobtenir, résulte de la formule suivante: 



k + i k' 



snx ' xn {ix, k') 



rii + ik' k — ik'-\ 

 L 2 ' k+ikj 



car en posant: 



de sorte que n„{k) = a + ^F + yA:* + . . . + /?Ä;2" - "-^ + aF" 

 on en deduira: 



et cette relation détermine les coefficients ^, y, . . ■ au moyen 

 de (( qui est donué d'avance par le développement connu de 

 -. — . Soit par cxemple ii = 4; en faisant: k — coscc d'ou: 



SI/W r r r 



k' = Sin(^, k + ik' = e'f, on aura facilcmeut 



64 [UM + ''4(^0] =- 1<^'^« + 104/? + 48y 



+ (28 a + 24 (■i + l(i y) Cos 4 (p 

 + a Cos Sep 

 puis: 



(k + ik'Y n^ 1 1-;=^^|! ) = 2a Cos 8(^ + 2,i Cos 4^) + y 



