M. CH. HERMITE. 



j'en tirerai cette derniére conclusion: 

 i(l + A') 



-f 



+ A' . 1 



i.r. 



+ 



2 ■"' 1 + k 

 1 + k' 



k + ik' 



\ "^ Ik + ik' k — ik'\ 



/J L \ 2 k-\- ii'} 



H 





t- + 2(i + r-)==o 



qui donnc poiir le calcul direct de <Z>„ (Å') la relation: 



+ (- 1)» (1 + ky- 0„ (i^) = (4» + 2) 0, (k). 



Mais une remarque est d'abord a faire sur la forme algebriqiie 

 des polynömes (J){k). Les égalités: 



sn [ka;, -^\ = sihv, —^ + — 5-7^ — jk = 1 



montrant en cffet que: 



on est araené a rechercher Texpression la plus générale des 

 polynömes entiers Cf{x) de degré n satisfaisant aux conditions: 



Supposons d'abord n impair; en faisant x = \ dans ces 

 deux égalités et x =^ — 1 dans la premiére senlement, on en 

 conclura: y(^) = O, y(2) = O, y(— 1) = O, par ou Ton voit 

 que ^){sc) contient le facteur: 



{x + 1) (2^'— 1) (.^• — 2). 

 Soit donc pour un moment: 



^(^x) = (x + 1) (2.t'-l) {x-'2)ifJ(x), 

 le polynome de degré pair yj(x) sera réciproque et verifiera 

 la condition V^(l — x) = VG"^)» car le produit: (^ + 1) (2.?'— 1) 

 (x — 2) change de signe quand on y remplace x par 1 — x. 

 Le oas de 11 impair est ainsi ramené a celui de n pair que je 

 vais considérer en posant n — 2m. J'observe a cet efFet qu'en 

 posant: 



cp^ (x) = (f (.r) — A (a-2 — X + 1)'" 



ou A est une constante arbitraire, on aura encore: 



