BIHANO Tir.L K. SV. VET. .\KAU. n.\N!)L. B. 3. K:0 10. 9 



Cela pose, déterminons A de maniére que cfi{x) admette 

 la racine x^=0; la condition (fi(l — x) = q)^{oc) fait voir qu'on 

 introduiva eu meme temps la racine iP = 1, dé sorte qu'on 

 peut faire: (fi{x) = x{l — x)<p>,(x). Or on trouve a Tégard 

 du nouveau polynunie (f^i^) Iss relations: 

 (/), (1 — a;) = (f, {x) 



qui donnent pour x=l, (f^i^)—^ et f/'2(0) = 0; donc comme 

 toiit a riieure (f.^ (x) admet le facteur x {1 — x), par oii Ton 

 voit qu on doit faire : 



fjPi (x) - Ix (1 — x)Y (/^3 (x) 

 d'oii resultera 



Cf., (l—x) = Cf^ (x) 



Ainsi rfr^ (.r) est un polynunie de meme nature que cf(x) 

 mais du degré 2m — 6, de sorte qu'en raisonnant sur le nou- 

 veau polynome conimc sur le précédent, on arrivera de proche 

 en proche h Toxpression cherchée: 

 ff (x) = A{x- — X + 1)'" + B{x- — X + I)'»--' (.0?- — a?)- 



+ Q{p(r-—x + l)'«-^=(a;-— a?)* 



+ . .. 



+ Jj{xP—x + 1)'« '^TPixP-^xY^i' 



p désignant Tentier contcnu dans — , et on en conclut en f ai- 



sant X = k-: 



(0„(k) = ^(1 — k'^k'-^)"' + B{i — F-k"'-Y-'km^ 



+ C(l — k^^k'*)^"-'' Bk'^ + ... + L(l — kH''-y"-'-p ¥i'k''p. 



Gette formo canonique, si je piiis dire, des coefficients du 



développcment de — ^-^ suivant les puissances croissantes de la 



variable, contiendra au plus, sous formc homogene, deux coeffi- 

 cients in^onnus, jusqu'aux limitcs n = 10 et n = 13 suivant 

 q\ie 71 est pair ou impair. Et si on écrit pour abréger 

 0nik) = ^fl(l — k^-k'-^)-' -^" (kky^^ 



