188 SURFACE DES ONDES. 



d'une valeur un peu plus graiiile que n jusqu'à une autre un peu plus 

 pelile que m, le 1" membre de l'équation (12) passe d'une grande va- 

 leur négative à une grande positive et par suite il y a une racine, ou 

 une valeur de s^ comprise entre m et n; on verrait de même qu'il y en 

 a une autre entre m et 1 ; enfin, en faisant croître s' d'une valeur un peu 

 plus grande que 1 à l'infini, le premier membre varie d'une grande va- 

 leur négative, à + 1 ; il y a donc une troisième racine plus grande que 

 I; pour celle-ci les dénominateurs sont tous trois de même signe; ainsi, 

 en remplaçant le terme 1 par a'+ |3*+ 7', et écrivant l'équation sous la 

 forme 



(l-s^+ ^) «' (m-s^+ "^) S^ (n-s'+ ~) / _ 



1 — s' "f" m — s'' "'" n — s' ' 



il faudra que les numérateurs ne soient pas tous trois de même signe. 

 Si deux des nombres 1, m, n sont égaux, par exemple 1 et m, alors 

 l'équation (11) a une racine égale à 1, mais les autres devront satisfaire 

 l'équation 



' 1 — s' ' n— s^ 



et en supposant encore 1 et n différentes, on verra de la même ma- 

 nière qu'il y a une racine entre 1 et n, et une autre les dépassant 

 toutes deux, et pour celles-ci les mêmes expressions que ci-dessus ne 

 doivent pas être toutes trois de même signe; nous omettons le cas 

 où 1 = m = n, qui ne peut se présenter que pour des valeurs par- 

 ticulières de a, (3, 7; tant qu'aucune de celles-ci n'est nulle, c'est-à- 

 dire que le point correspondant n'est pas sur une section principale, 

 on voit que c'est le seul cas où deux valeurs de s' pourraient être 

 égales; on voit aussi que, sauf pour des valeurs particulières de a, 

 P, y, il y aura toujours deux racines comprises entre le plus grand 

 et le plus petit des nombres 1, m, n, ou égales à l'un d'eux, et une 



