230 SURFACE DES ONDES. 



Comme y est négatif, il vaut mieux le remplacer par — S, de sorte que â sera con- 

 stant, X et z variables positives assujetties à avoir pour somme (5 ou a — c, et l'on 

 aura à chercher le maximum de 



_ x2 z» aS [P 1^ 



•(xa^ _ z.,2)2+2Sxaîp!' + 2«z327! + «2g< 



C'est pour des valeurs de |3 différentes de o que nous avons à chercher le maxi- 

 mum de celte expression ; il sera, du reste, aisé de vérifler d'après le résultat qu'il 

 converge sur o quand (3 diminue, mais la méthode indiquée dans la note précédente 

 ne peut s'employer; on peut procéder autrement en supposant qu'on donne à (3 une 

 valeur constante auquel cas le dénominateur n'est pas nul, puis qu'on supprime le 

 terme (xa' — zy'Y, de sorte que v est remplacé par l'expression plus grande 



x2 z2 0,2 f) f « 



V2 î X a2 + 2 s z f 2 + J2 g» ' 



supposons trouvées les valeurs de x, z, a% y' qui rendent celle-ci maxima, a' + y' 

 étant constante. Il est clair qu'aucune de ces variables ne sera nulle. Nous allons dé- 

 montrer que pour ce système de valeurs on ne peut avoir x > z. En effet, si en même 

 temps on a.vAit a' = y^, l'expression augmenterait en remplaçant x et z par '/^S; on 

 n'a pas non plus a' > y-, car l'expression augmentci'ait en échangeant les valeurs de 

 3t et -y; il faut donc admettre que 7' > a^ Mais alors on pourrait augmenter l'ex- 

 pression en donnant aux variables de petits accroissements propres à les rapprocher 

 de l'égalité, savoir 



(ix = — t, dz = t, ri. o.'^ = 9, d. y^ = — 9, 



t et étant de petites quantités positives dont le rapport reste arbitraire ; en effet, 

 on aurait 





1' X a?. 



._j i_ i'^J L 



z 7< XT* ' x" a» z^ Y ' 



