LA GÉOMÈTRIE DES FEUILLETS 215 
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d’un point M dans l’espace, le déplacement d’un point peut engendrer 3 espèces 
différentes de séries ponctuelles : si un seul paramètre est laissé arbitraire, le point 
mobile A7 engendre une ligne ou courbe (monosérie de points); si deux paramètres 
sont arbitraires, le point 17 engendre une surface (bisérie de points), finalement si 
les trois paramètres sont arbitraires, le point 17 engendre une trisérie, c’est-à-dire 
qu'il est tout à fait libre dans l’espace. 
Il existe donc en géométrie ponctuelle deux formes spatiales : la ligne (ou 
courbe) et la surface. 
b) Géométrie réglée : Tandis que la géométrie ponctuelle est étudiée depuis 
l'antiquité, la géométrie réglée ne date que du siècle dernier ; elle est sortie des 
travaux de CHASLES et de PLÜCKER. 
Le déplacement d’une droite engendre une série réglée. Comme il faut 4 para- 
mètres pour définir la position d’une droite dans l’espace, on pourra engendrer 
4 espèces de séries réglées : si un seul paramètre est arbitraire, la droite mobile 
D engendre une monosérie de droites ou surface réglée (par exemple un cône, un 
hyperboloïde, etc.) ; si deux paramètres sont arbitraires, la droite D engendre une 
congruence (bisérie de droites); si trois paramètres sont arbitraires, la droite 
engendre un complexe (trisérie de droites), finalement si les quatre paramètres sont 
arbitraires, la droite D engendre une tétrasérie, c’est-à-dire qu’elle est tout à fait 
libre dans l’espace. 
€) Géométrie tangentielle. Une collection de plans, ou série tangentielle, peut 
être considérée comme engendrée par le déplacement d’un plan. Pour définir la 
position d’un plan dans l’espace, il faut 3 paramètres : un plan mobile P peut done 
engendrer 3 espèces de séries tangentielles : si un seul paramètre est laissé arbi- 
traire, le plan ? engendre une ligne ou courbe (monosérie de plans), de telle façon 
que le plan P est constamment osculateur à la courbe engendrée !; si deux para- 
mètres sont laissés arbitraires, le plan ? engendre (par enveloppe) une surface 
(bisérie de plans); enfin, si les trois paramètres sont arbitraires, le plan P engendre 
une trisérie de plans, c’est-à-dire qu'il est tout à fait libre dans l’espace. 
Remarque : Les formes spatiales en géométrie tangentielle (ligne, surface) 
sont les mêmes que celles de la géométrie ponctuelle. Ces deux géométries forment 
donc ensemble une géométrie double ou biseruelle : dans cette géométrie, que l’on 
désigne aussi sous le nom de fhéorie des courbes et des surfaces, chaque forme peut 
étre étudiée de deux points de vue opposés (principe de dualité). Au contraire, la 
géométrie réglée est en ce sens wriseæuelle. 
! On dit aussi qu'un plan mobile P engendre une surface développable (par enveloppe), de telle 
façon que P est constamment tangent à cette surface. La courbe enveloppe du plan ? est alors l’arête de 
rebroussement de cette surface développable. 
