LA GÉOMETRIE DES FEUILLETS 217 
Nous allons donc, au moyen de la géométrie des feuillets, étudier les lois du 
déplacement d'un corps rigide; mais il est naturel, avant de faire cette étude dans 
l’espace à 3 dimensions, d'étudier le déplacement d’une figure rigide dans un espace 
à 2 dimensions (plan ou sphérique), comme on à coutume de procéder en géométrie 
statique. 
Dans l’espace plan à 2 dimensions, il n'y à plus que 3 types de figures 
rigides : 
a) la figure AZ appelée point : 
b) » D > droite: 
€) > MD >» flèche (composée d’une droite orientée D, sur laquelle 
est marqué un point A7). 
On peut donc dire que, dans l’espace plan, il n'existe que 3 géométries fonda- 
mentales, que l’on peut diviser en deux groupes : 
1% GROUPE (Géométries à élément simple) : a) géométrie ponctuelle ou étude 
des séries de points; b) géométrie tangentielle ou étude des séries de droites. 
2m GROUPE (Géométrie à élément double) : c) géométrie des flèches ou étude 
des séries de flèches. 
En géométrie plane, il n'existe que deux espèces de séries ponctuelles ou tan- 
gentielles : la monosérie et la bisérie, car, dans le plan, 2 paramètres suffisent pour 
définir la position d’un point A7 ou d’une droite D. Si un seul des 2 paramètres 
est laissé arbitraire, le point mobile A7 (ou la droite D) engendre une ligne; si 
les 2 paramètres sont arbitraires, le point 27 (ou la droite D) est entièrement libre 
dans l’espace plan. Les formes ponctuelles et les formes tangentielles (réglées) sont 
denc identiques dans l’espace à 2 dimensions. Ces deux géométries forment donc une 
seule géométrie bisexuelle, qui est bien connue sous le nom générique de fhéorie 
des courbes planes. 
Au contraire, la géométrie des flèches est encore inconnue; elle est pourtant 
très importante, car, dans l’espace plan, une flèche est l'expression à la fois la plus 
simple et la plus générale de la position d'une figure rigide quelconque. Une série de 
flèches est équivalente au déplacement d’une figure rigide plane dans son plan, car 
il faut précisément 3 paramètres pour définir la position d’une flèche 24721) dans un 
plan (2 pour la position du point ZZ et 1 pour la direction de la droite 1); une flèche 
> 
peut engendrer une monosérie, une bisérie ou une trisérie, suivant que 1, 2 ou 3 
paramètres sont laissés arbitraires; dans ce dernier cas, la flèche est entièrement 
libre dans le plan. On voit donc que la géométrie des flèches joue dans l’es- 
pace plan le mème rôle que la géométrie des feuillets dans l’espace à 3 dimen- 
sions. 
Déjà depuis quelques années, j'ai commencé à étudier la géométrie des flèches 
