LA GÉOMÉTRIE DES FEUILLETS 295 
ronnes : les bases de ces 3 couronnes seront 3 cercles LM, MM, et M, qui 
se recoupent en un point commun AJ, et leurs gorges seront 3 cercles ! qui posse- 
dent une tangente commune D, ; en outre le point AZ, se trouve sur la droite D, 
La flèche A7,D, ainsi construite est donc respectivement symétrique des trois flèches 
M,D,, D, D:, M,D,, par rapport aux droites L1,, 1,1,, 1,1. Les troisflèches don- 
nées sont done inverses d'une même flèche 47,1),, c'est-à-dire que ces 3 flèches sont 
contenues dans le couronoïde dont le pôle est AZ, et dont l'axe est D). 
Corollaire : Etant données 3 flèches quelconques dans le plan, il existe une 
flèche, et une seule, inverse des trois flèches données. 
Remarque : Trois flèches définissent deux à deux 3 rotations, dont l’une est 
la résultante des deux autres. La construction indiquée sur la figure 12 permet 
donc de trouver la rotation qui résulte de 2 rotations finies (dans un même plan), et 
le triangle curviligne M, MZ, M, est une généralisation du triangle rectiligne qui 
permet de trouver la résultante de deux translations. On verrait aussi facilement 
que, dans le triangle curviligne A1, M M,, la somme des 3 angles est toujours 
égale à 2 angles droits. 
Couronnes inverses : Deux couronnes peuvent avoir la même base et la même 
gorge sans cependant coïncider (fig. 13), car, de chaque point M pris sur la base 
commune, on peut mener à la gorge deux tangentes distinctes; on obtient ainsi 
deux couronnes symétriques l’une de l’autre par rapport à une droite quelconque À 
passant par son centre Z;: en d’autres termes, toute flèche de l’une des couronnes 
est inverse de toute flèche de l’autre couronne; on peut donc dire que les deux 
couronnes sont nverses l’une de l’autre, Comme 2 flèches déterminent une couronne, 
on voit que /e lieu des flèches inverses de 2 flèches est une couronne. 
La géométrie des flèches dans le plan est donc semblable à la géométrie 
ponctuelle dans l’espace à 3 dimensions, car les 3 formes fondamentales (fleche, 
couronne, couronoïde) jouent le même rôle que le point, la ligne droite et le plan 
dans l’espace ponctuel : une flèche est la figure inverse d’un couronoïde comme un 
point est la figure inverse d’un plan; une couronne est inverse d’une couronne 
1 En effet, si l’on construit la fléche MD symétrique de MD: par rapport à la droite Z213, le point 
M se trouvera sur le cercle de base MB et la droite 2 sera tangente an cercle de gorge JL ; si mainte- 
nant on construit les flèches symétriques de MoDo par rapport à chaque droite d’un faisceau ayant son 
centre en 2, on obtiendra une couronne contenant M1) et par suite aussi Ms D: puisque 2 est précisé- 
ment le centre de rotation correspondant à ces deux flèches ; done les flèches M:D3: et MoD sont symé- 
triques lune de l’autre par rapport à une certaine droite Æ appartenant au faisceau J2. Pour la même 
raison, les flèches M2De et Mol sont symétriques l’une de lPautre par rapport à une certaine droite F 
appartenant au faisceau 2. Soit à Le point de rencontre des droites Æ et Æ : si l’on construit les flèches 
symétriques de MoDo par rapport à chaque droite du faisceau 4, on obtiendra une couronne contenant les 
flèches M3D2 et Mas: donc le point à coïncide avec D, et la flèche Mol est respectivement symétrique 
des 3 flèches donuées par rapport aux 3 côtés du triangle A1121:; par suite les cercles de base des 3 cou- 
ronnes se coupent en un méme point Ms et leurs cercles de gorge sont tangents à une même droite ZX. 
