234 RENÉ DE SAUSSURE 
Remarque : Si, pour chaque point A7 d’une bisérie de flèches dans un plan, on 
détermine la flèche A,D, inverse du couronoïde tangent au point M, l’ensemble 
des flèches 47,D, formera une bisérie qu'on peut appeler la bisérie dérivée de la 
bisérie donnée, car il y aura évidemment réciprocité entre la bisérie M,D, et la 
bisérie donnée MD. 
$ 5. — Purallélisme entre la géométrie des flèches dans le plan et la géométrie 
ponctuelle dans l'espace à trois dimensions. 
Nous avons déjà signalé ce parallélisme, mais voici une méthode analytique, 
qui m'a été communiquée par M. le prof. Raoul BRICARD, méthode qui établit une 
correspondance analytique entre les 3 coordonnées d’une flèche dans le plan et les 
3 coordonnées d’un point dans l’espace. 
Soit 1/,D, une flèche fixe et MD une flèche quelconque donnée dans le plan, 
on peut définir la position de 1/2D par rapport à M,D, au moyen des coordonnées x et 
y du centre de rotation qui permet de passer de 4,D, à MD, et de l'angle de rota- 
tion © correspondant; si maintenant on considère dans l’espace à 3 dimensions le 
point dont les coordonnées sont X—=x, Y—#y, Z — cotq 9/2, ce point sera le 
point représentatif de la flèche J/D. On voit facilement que, lorsque la flèche MD 
décrit dans le plan une couronne ou un couronoïde, son point représentatif dans 
l’espace décrit respectivement une ligne droite ou un plan. Soient en effet 1, Yu, 
got Et To, Yo: oz les coordonnées de deux flèches MD, et MLD: par rapport à 
la flèche fixe A1,D,; si y et y: désignent les coordonnées du centre de rotation 
qui permet de passer de A,D, à MD, les 3 points (tu, Yu), (Go, Yo), (de, Ya2) 
forment un triangle dont les angles sont : !/, on, ‘/o 02, ‘/2 @12: si l’on désigne les 
côtés de ce triangle par les lettres 4, Gi, &, on a: 
do Le sin 1}, (çu + 902) 
z — sin !/, où Cotg !/, oc + COS !/, © 
& sin 1}, co le 8 ‘/2 qe + /a Qui 
Si maintenant la flèche A D, engendre une couronne autour du centre (42, y19) 
pendant que la flèche MD, reste immobile, l’angle o ne variera pas; la formule 
précédente montre alors qu’il existe une relation linéaire entre les quantités & et 
cotg ‘Ja 2, C'est-à-dire que le point représentatif (t02, Yo2, COtg !/2 wo) décrit une 
ligne droite dans l’espace, lorsque la flèche 12D, décrit une couronne dans le plan. 
On peut donc démontrer les théorèmes relatifs à la géométrie des flèches dans 
un plan au moyen des théorèmes correspondants de la géométrie ponctuelle de 
l’espace, à la condition que ces théorèmes n’impliquent pas de relations métriques. 
