LA GÉOMËTRIE DES FEUILLETS 239 
CHAPITRE NI 
GÉOMÉTRIE DES DRAPEAUX AUTOUR D'UN POINT FIXE. 
L'espace autour d’un point est un espace à deux dimensions, semblable à l’es- 
pace plan. En effet, ce qu'on appelle + espace autour d'un point AZ » est l’ensem- 
ble (cc?) de toutes les droites D et de tous les plans P qui passent par AZ, et la 
géométrie autour d’un point A est l'étude des figures et des formes que l’on peut 
engendrer en déplaçant la droite D, ou le plan P, sans que cette droite ou ce plan 
cesse de passer par le point AZ. 
Cette géométrie est connue aussi sous le nom de géométrie sphérique : imagi- 
nons en effet une sphère » de rayon arbitraire, tracée autour du point A7: chaque 
droite D rencontrera cette sphère en un point det chaque plan P la coupera suivant 
un grand cercle p ; à tout déplacement de l'élément D ou P autour de AZ corres- 
pondra un déplacement de 4 ou p sur la sphère # ; à toute figure conique engendrée 
par D ou P'autour de AZ correspondra une figure sur la sphère » ; cette sphère est 
donc la représentation de l’espace autour du point AZ, en d’autres mots on peut 
remplacer la géométrie autour de 41 par la géométrie sphérique, laquelle est sem- 
blable à la géométrie plane. 
Nous avons vu que dans le plan il existe 3 éléments fondamentaux : un point 
M, une droite D et une flèche 2ZD. De même, autour d’un point les 3 éléments 
fondamentaux seront : une droite D, un plan P et la figure D P obtenue en unissant 
une droite et un plan (passant par A7); c’est cette figure que j'ai appelée drapeau. 
Aux éléments simples D et P correspond une seule et même géométrie 
(bisexuelle), car les déplacements d’une droite où d’un plan autour d’un point fixe 
engendrent une même forme spatiale, le cône. Les cônes jouent donc dans cette 
géométrie le même rôle que les courbes en géométrie plane, et comme celles-ci, se 
présentent sous deux aspects : les cônes réglés (monosérie de droites) engendrés par 
le déplacement d’une droite D et les cônes tangentiels (monosérie de plans) enve- 
loppés par un plan mobile. Le cône réglé le plus simple est le cone plan (faisceau 
plan) ; deux droites (par A7) suffisent pour déterminer un tel cône. Le cône tangen- 
tiel le plus simple est le faisceau de plans passant par une méme droite; deux 
plans sufhisent pour déterminer un pareil faisceau. 
MÉM, SOC, PHYS, ET HIST, NAT. DE GENÈVE, VOL. 86 (1910). 31 
