LA GÉOMÉTRIE DES FEUILLETS 243 
miroir) : lorsqu'il existe un plan À tel que l’un des feuillets soit l’image de l’autre 
par rapport à ce plan-miroir À. 
Parmi les différentes séries de feuillets que l’on peut imaginer dans l’espace, il 
est intéressant d'étudier celles que l’on peut engendrer par un feuillet AZD P qui se 
déplace de telle manière qu'il reste constamment inverse d’un feuillet fixe 14D5P%. 
On peut définir ces séries au moyen du feuillet générateur 12,D,P, et de la série (ou 
polysérie) des miroirs plans À qui servent à produire les images 1ZD P. On trouvera 
done les séries fondamentales de cette espèce en utilisant comme miroirs des séries 
linéaires de plans À:1° un faisceau de plans autour d’une droite (monosérie 
linéaire), 2° une gerbe de plans autour d’un point (bisérie linéaire), 3° l’ensemble 
des plans de l’espace (trisérie linéaire). Les séries correspondantes de feuillets 
s’appelleront couronne, couronoïde et hypercouronoïde. 
1° Couronnes de feuillets : Soit M,D, Fun feuillet fixe et À un miroir plan mobile 
autour d'un axe fixe X ; le lieu des images A/DP du feuillet fixe MDP, est une 
monosérie que j'appellerai une couronne. Une couronne peut évidemment être con- 
sidérée comme engendrée par rotation du feuillet MDP autour de l'axe X ; cette 
rotation est un mouvement à un paramètre : je dirai donc rotation à un paramètre, 
afin de pouvoir introduire plus loin la notion des rotations à plusieurs paramètres. 
Pendant la rotation, le point 37 décrit un cercle » (qui passe par Z7, et) qui est 
le cercle de base de la couronne; la droite D engendre un hyperboloïde de révolu- 
tion d, (qui contient la droite D, ! et) dont le cercle de gorge est la gorge de la 
couronne ; enfin le plan Penveloppe un cône de révolution p (qui est tangent au plan 
à et) qui sera le cône de base de la couronne. 
La couronne de feuillets présente deux cas particuliers intéressants : 
a) Lorsque le point A7, se trouve sur l’axe de rotation X, le point AZ coïncide 
constamment avec M: le cercle de base et la gorge de la couronne ont tous deux 
un rayon nul; l'hyperboloïde d se réduit à un cône (fig. 25) ayant même sommet et 
même axe que le cône de base p enveloppé par le plan P; on dira dans ce cas que 
la couronne de feuillets est à point fixe, car elle est équivalente dans ce cas à une 
couronne de drapeaux autour dun point A (fig. 20). 
b) Lorsque le plan ?, est perpendiculaire à l’axe X, le plan P coïncide cons- 
tamment avec 2; le point A engendre dans le plan Pun cercle » qui est la base de 
la couronne (fig. 26) et la droite D y enveloppe un cerele concentrique d qui en est 
la gorge; on dira alors que la couronne de feuillets est à plan fixe, car dans ce cas 
elle est équivalente à une couronne de flèches dans un plan P (fig. 21). 
1! La droite D, appartient au second système de génératrices de cet hyperboloïde, car les droites D 
et D, se rencontrent constamment. 
MÉM, SOC. PHYS. ET HIST. NAT. DE GENÈVE, VOL. 86 (1910). 32 
