250 RENÉ DE SAUSSURE 
suffit de prendre un feuillet fixe H,D,P, et de le faire tourner successivement au- 
tour de toutes les droites de l’espace. En effet, considérons un point quelconque M 
de l’espace : pour que le feuillet partant de la position MD, P, atteigne le point M 
par une rotation, il faut choisir l’axe de celle-ci dans le plan de symétrie À des 
points M, et M. Or, d’après la remarque qui suit le théorème 27, dont on voit ici l’uti- 
lité, lorsqu'on fait tourner un feuillet M,D,P, successivement autour de toutes les droi- 
tes d’un même plan À, on obtient au point symétrique AZ une bisérie de feuillets qui 
forment un couronoïde autour du point M; et si MD P est le feuillet symétrique de 
M,D,P, par rapport au plan À, la même génération produit aussi dans le plan P 
(toujours d’après la remarque qui se trouve à la fin du théorème 27) une bisérie de 
feuillets qui forment dans ce plan P un couronoïde. 
Puisque le point AZ (ou le plan P) à été choisi arbitrairement, on voit qu’en 
faisant tourner le feuillet initial A,D,P, successivement autour de toutes les droi- 
tes de l’espace, on obtient une pentasérie telle qu’en chaque point 47 de l’espace 
ses feuillets forment un couronoïde (dont le feuillet inverse est le feuillet symétrique 
de M,D,P, par rapport au plan perpendiculaire sur le milieu de AZMh) et que dans 
chaque plan Pses feuillets forment aussi un couronoïde (dont le feuillet inverse est 
le feuillet MDP symétrique M,D,F, par rapport à l’un des plans bissecteurs de P 
et de PF. 
L'existence de la pentasérie du premier ordre et de la première classe est ainsi 
démontrée, mais rien ne prouve jusqu'ici que la pentasérie que nous venons de réali- 
ser, soit la plus générale (du premier ordre et de la première classe). 
me méthode : Pour construire une pentasérie du premier ordre on peut, en 
partant toujours d’un feuillet donné M,D, P,, construire d’abord l’hypercouronoïde, 
lieu de tous les feuillets AD P inverses de M,D,P,; cet hypercouronoïde définit en 
chaque point A de l’espace un seul feuillet A2D P ; il ne reste plus qu’à construire 
autour de chaque point M le couronoïde inverse du feuillet J7D P se trouvant en ce 
point ; on obtient ainsi une * de couronoïdes, c’est-à-dire une pentasérie de feuil- : 
lets, et cette pentasérie est du premier ordre, puisqu'elle possède en chaque point 
de l’espace un couronoïde (bisérie du premier ordre). 
De même, pour construire une pentasérie de la première classe, on peut em- 
ployer le même hypercouronoïde, lieu des feuillets MD P inverses de M,D,F, ; cet 
hypercouronoïde définit dans chaque plan P de l’espace un seul feuillet MDP 
(lorsqu'on tient compte des signes) ; il ne reste plus qu’à construire dans chaque 
plan P le couronoïde inverse du feuillet ADP se trouvant dans ce plan; on obtient 
ainsi une œ&* de couronoïdes (plans), c’est-à-dire une pentasérie de feuillets, et cette 
pentasérie est de la première classe puisqu'elle possède dans chaque plan de l’es- 
pace un couronoïde (bisérie de la première classe). 
