LA GÉOMÉTRIE DES FEUILLETS 291 
Or, que l’on construise une pentasérie du premier ordre ou une pentasérie de 
la première classe, le résultat est le même, car les deux constructions que nous 
venons d'indiquer, ne sont que les deux aspects de la méthode de construction déjà 
déduite plus haut du théorème 27. - 
Remarque sur la pentasérie générale du premier ordre et de la première 
classe : Nous avons démontré la possibilité de construire une pentasérie du premier 
ordre et de la première classe : mais, nous l'avons dit, rien ne prouve que la penta- 
série que nous avons construite soit la pentasérie la plus générale. Il suffit, pour le 
moment, de constater que cette pentasérie existe. Nous désignerons provisoirement 
par le symbole C5 la pentasérie la plus générale Au premier ordre et de la première 
classe. 
En tout cas, que cette pentasérie soit celle que nous venons de construire ou 
une pentasérie plus générale, nous pouvons aftirmer que toute série C° possédera 
les caractères suivants : 
1° Les feuillets (AZ d p) de la pentasérie qui ont, en commun, un point M 
formeront un couronoïde à point fixe. 
20 Les feuillets (m d P) de la pentasérie qui ont, en commun, un plan ?, for- 
meront un couronoïde à plan fixe. 
30 Les fecillets (mm D p) de la pentasérie qui ont, en commun, une droite D, 
formeront une correspondance univoque entre les points » et les plans p de cette 
droite, lorsqu'on tient compte des signes. 
40 Si M est le pôle du couronoïde à plan fixe contenu dans un plan donné P, 
réciproquement, le plan Psera le plan polaire du couronoïide à point fixe qui existe 
autour du point M. En effet, dans un couronoïde à plan fixe P, le pole AZ est un 
point où il y à une infinité de feuillets (M d P) ; tous ces feuillets ont, en commun, 
le plan fixe P, le pôle AZ et ne différent que par la droite d. Or, dans un couro- 
noïde à point fixe 27, le plan polaire P° est le seul plan où il y à une infinité de 
feuillets (A d P?) ; tous ces feuillets ont, en commun, le point fixe ZZ et le plan 
polaire P° et ne diffèrent que par la droite d. Il faut donc que les plans P et P° coïn- 
cident car, au point A, la série C° ne contient qu'un seul couronoïde à point fixe et, 
par conséquent, qu'un seul plan P où la direction de la droite d devient indéter- 
minée. 
59 Si l’on considère le couronoïde à plan fixe P, son pôle est un certain point 
M et son axe polaire est une certaine droite D du plan P; réciproquement, le cou- 
ronoïde à point fixe AZ admet, pour plan polaire, le plan Pet, pour axe polaire, la 
droite D. En d’autres mots, ces deux couronoïdes sont unis par le même feuillet 
inverse (MDP). En effet, dans le couronoïde à plan fixe P, le feuillet qui corres- 
pond à un point quelconque » de l’axe polaire D a son axe dirigé suivant D et son 
MÉM. SOC, PHYS. ET HIST. NAT. DE GENÈVE, VOL. 36 (1910). 33 
