LA GÉOMÉTRIE DES FEUILLETS 263 
19 Géométrie des flèches : Cinq coordonnées sont nécessaires pour définir la 
position d’une flèche ZZD dans l’espace. La forme la plus complète dans cette 
géométrie, c’est-à-dire la forme engendrée par une flèche soumise à une seule 
condition, est donc la tétrasérie de flèches. Quels sont les caractères d’une telle 
tétrasérie ? En chaque point 7 de l’espace, les fèches AD d’une tétrasérie forme- 
ront un cône (dont le degré pourra servir à définir l'ordre! de la tétrasérie), ou plutôt 
un demi-cône car la droite D est orientée, Dans chaque plan P de l’espace, les flèches 
MD de la tétrasérie formeront, non pas une monosérie comme on le croirait au pre- 
mier abord, mais une bisérie, car une même fleche /D est située dans une &' de 
plans différents; cette bisérie servira à déterminer la classe de la tétrasérie; on 
peut donc prévoir que la tétrasérie de la première classe sera telle que dans un plan 
quelconque P, ses flèches formeront un couronoïde. Enfin, sur une droite quelconque 
D de l’espace, toute tétrasérie possède un nombre fini de flèches AD ; la tétra- 
série du premier ordre en possédera deux, correspondant chacune à l’un des sens 
de la droite D. Quelle sera donc la définition de la tétrasérie de flèches du premier 
ordre et de la première classe (si elle existe ?) Il est possible que l’on doive recourir, 
ici encore, aux notions de symétrie. Il existe dans l’espace 3 sortes de symétrie : 
lorsqu'une figure Z°se déplace en restant symétrique d’une figure fixe F5 par rapport 
à un point mobile a, on dit que la figure Æ subit un déplacement de éranslation ; 
lorsque Z° se déplace en restant symétrique de # par rapport à un plan mobile À, 
la figure engendre un déplacement de rotation; enfin lorsque Æ'se déplace en restant 
symétrique de Æÿ par rapport à une droite mobile +, le déplacement est dit de 
torsion ?. 
Une torsion est un déplacement à 1, 2, 3 ou 4 paramètres, suivant que la 
droite mobile : décrit une surface réglée, une congruence, un complexe ou tout 
l'espace réglé. On peut donc considérer une torsion dans l’espace comme la généra- 
lisation d’une rotation dans le plan; et puisque dans le plan, le couronoïde est le lieu 
des flèches MD symétriques d’une flèche MD, par rapport à toutes les droites du 
plan (rotation à 2 paramètres), il est possible que dans l’espace la tétrasérie de 
flèches du premier ordre et de la première classe soit le lieu des flèches MD symé- 
triques d’une flèche fixe MD, par rapport à toutes les droites de l’espace (torsion à 
4 paramètres). 
Quoi qu'il en soit, les triséries, biséries et monoséries de flèches du premier 
ordre s'obtiendront en recherchant les flèches communes à 2, 3 et 4 tétraséries du 
! Il ne s’en suit pas nécessairement que dans la tétrasérie du premier ordre ce cône soit du premier 
degré; Il est plus probablement du second, car alors tout plan P passant par M couperait le demi-cône 
suivant 2 flèches correspondant aux 2 faces du plan P. 
# Voir Arch. des Sc, Ph. & Nat. 1906. 
