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premier ordre ; et si k est le nombre (fini) des flèches communes à 5 tétraséries du 
premier ordre, il faudra 
k + 1 flèches pour déterminer une monosérie du 1° ordre 
jé + 2 » » >» bisérie » » » 
k +3  » » »  trisérie re 
k +4 » » » tétrasérie >» » > 
29 Géométrie des drapeaux : En raisonnant sur les drapeaux comme nous 
venons de le faire sur les flèches, on verra facilement que: la forme la plus complète 
des systèmes de drapeaux est la tétrasérie ; que tous les drapeaux D P d’une tétra- 
série qui sont situés autour d’un même point J7 forment une bisérie (couronoïde 
dans le cas où la tétrasérie est du premier ordre); que tous les drapeaux D_P d’une 
tétrasérie qui sont situés dans un même plan P forment une monosérie (dont la 
nature fixe la classe de la tétrasérie ; enfin que tous les drapeaux D P d’une tétrasérie 
qui sont portés par une même droite D sont en nombre fini ; que la tétrasérie du 
premier ordre est peut-être le lieu des drapeaux symétriques d’un drapeau fixe par 
rapport à toutes les droites de l’espace, etc., etc. 
3° Géométrie des boucliers : La forme la plus complète est toujours la tétra- 
série; dans toute tétrasérie, tous les boucliers 2ZP autour d'un même point A 
forment une monosérie (qui enveloppe un cône), tous les boucliers AZP dans un même 
plan P forment une monosérie (le point A7 décrit une ligne dans le plan P), enfin 
tous les boucliers AZ? portés par une même droite D forment aussi une monosérie 
(qui établit une correspondance entre les points 27 et les plans P de la droite D); la 
tétrasérie du premier ordre est peut-être le lieu des boucliers AZP symétriques d’un 
bouclier fixe M7 par rapport à toutes les droites de l’espace. 
Il est donc fort possible que les 3 géométries (flèche, bouclier, drapeau) ne 
forment en réalité qu'une seule géométrie trisexuelle; en effet leurs 3 éléments 
dépendent du même nombre de coordonnées; en outre le drapeau est dualistique- 
ment la figure inverse de la flèche et une flèche A2D détermine un bouclier MP 
(dont le plan P est le plan perpendiculaire à la droite D en A7). 
Remarquons pour conclure qu’il n'existe pas dans notre espace d’autres géomé- 
tries fondamentales que les sept que nous avons énumérées, car il n'existe que 7 
figures ne contenant aucun paramètre de grandeur et en outre ces figures forment 
un cycle fermé puisque, partant de l'élément spatial le plus primitif, le point, on 
aboutit au feuillet, qui est l'équivalent d’un corps rigide quelconque, c’est-à-dire de 
l’espace lui-même, puisqu'un corps rigidé n’a ni forme ni limites. On peut donc dire . 
que dans la géométrie des feuillets c’est l’espace lui-méme qui est pris comme son 
propre élément. 
