MÉMOIRES 
DE LA 
SOCIÉTÉ DE PHYSIQUE ET D'HISTOIRE NATURELLE DE GENÈVE 
VOLUME 34. FASCICULE 4. 
SON APPLICATION AUX FONCTIONS DE BESSEL 
C. CAILLER 
La théorie des fonctions de Bessel présente un grand nombre de formules 
obtenues le plus souvent par des moyens variés sans rapport bien étroit les uns 
avec les autres. C’est ainsi que suivant les circonstances on s'appuie tantôt sur les 
développements en série, tantot sur l'une des nombreuses représentations en inté- 
grales définies, sans que la parenté très réelle entre ces divers procédés ait été 
mise suffisamment en lumière. Frappé de ce manque d'unité qui doit, me semble- 
t-il, disparaitre de l'exposé d'une théorie dès longtemps classique, j'ai cherché 
à coordonner d'une maniere aussi naturelle que possible les principales propriétés 
formelles de ces fonctions en les faisant toutes découler d'un seul principe général. 
De là cette Note écrite depuis longtemps et dont j'ai déjà donné un court extrait 
dans le Bulletin de Darboux (1899, p. 26-48), mais que diverses circonstances 
m'ont empêché de publier plus tôt. 
J'ai cru trouver le principe dont javais besoin dans une opération 
analytique fréquemment rencontrée par les géomètres ces dernières années et à 
laquelle je propose de donner le nom, employé précédemment par M. Schlesinger, 
de transformation ou réduction de Laplace : juste hommage rendu à lillustre 
auteur qui à le premier utilisé cette opération, d’une manière implicite il est vrai, 
dans sa méthode d'intégration de certaines équations différentielles par des 
intégrales définies. 
(1) 
MÉM. SOC, PHYS. ET HIST. NAT. DE GENÈVE, VOL. 34 (1903). 
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