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On ne trouvera dans cette espèce de petit traité des fonctions besséliennes 
de première espèce que les propriétés les plus caractéristiques de ces fonctions ; 
je me suis efforcé de les grouper dans un espace aussi restreint que possible et 
J'ai naturellement écarté tout ce qui était ou trop facile où sans rapport avec le 
but précis que J'avais en vue. Bien qu'entrepris dans un but d'enseignement, 
Jose espérer que cet essai renferme assez de choses nouvelles pour ne pas présenter 
un intérêt exclusivement didactique. J°y joins, pour montrer l'efficacité de la 
méthode, une courte digression sur des transcendantes analogues aux besséliennes, 
mais d'ordre plus élevé, auxquelles je donne le nom de fonctions hyperbesséliennes. 
S 1. Généralités sur les Réduites de Laplace. 
Soit o(x) — Ya,x"une série ordonnée suivant les puissances entières ou 
fractionnaires, où même imaginaires, d’une variable æ. Nous nommerons {rans- 
formée où réduite de Laplace la fonction définie par la nouvelle série, supposée 
convergente comme la précédente 
nl ar, 
et nous dirons aussi que (x) est la primitive de or(t). 
Le cas ie plus intéressant et le seul, à une exception près, auquel nous 
aurons affaire dans cette Note est celui où la fonction (x) affecte la forme 
o(x) = æ#G(x), 
» désignant un nombre quelconque et G(x) une transcendante entière 
G(x) = 40 + ar + au? +. 
, EE ie 
telle que le module du coefficient &, soit égal ou inférieur à la quantité 
nu» 9 
M et > sont deux paramètres fixes indépendants de ». Dans ces conditions, la réduite 
de Laplace existe et se trouve définie, comme on voit de suite, dans un cercle de 
rayon 7; la continuation analytique servira ensuite à étendre autant que possible 
le domaine d'existence de cette réduite. Réciproquement, étant donnée une série 
PL) = TE b, + bic + bon +...) 
convergente dans un cercle de rayon 7, elle admet pour primitive la fonction 
n = b, 
Gr) = RSR ER 
RE 2 ne 
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