al 
sd eh im 
RTL 
À PTT CPR RE PT TR TT, pe AN pe PE 
NOTE SUR UNE OPÉRATION ANALYTIQUE 297 
série qui converge dans tout le plan de la variable complexe x et rentre dans 
le type indiqué ci-dessus. 
Les définitions précédentes supposent que les fonctions (x) et (7) sont, 
à un facteur près r#, développées en séries de puissances et ont l'inconvénient 
d'être plus restrictives qu'il n'est nécessaire. Bien que les séries doivent jouer 
le rôle prépondérant dans la suite, il est cependant indispensable d'établir d'une 
manière un peu plus générale les relations entre la fonction réduite et sa 
primitive. 
A cet effet, remarquons que, 4) ayant toujours la forme indiquée plus haut, 
on à l'égalité 
0 
qui devient évidente lorsqu'on remplace (2) par son développement puis qu'on 
intègre terme par terme: pour la convergence de l'intégrale il faut toutefois 
supposer que la partie réelle de 4 est plus grande que — 1. On pourrait éviter 
cette restriction en remplaçant le contour rectiligne d'intégration par un lacet 
simple entourant les points 0 et &, mais nous ne ferons pas ici cette complication. 
Pour démontrer d'une manière entièrement rigoureuse la formule précédente, 
nous devons faire voir que le reste 
32 
[l e (act La sigttiantl L., jæezkde (2) 
e 
L 
tend vers zéro, quel que soit x, à mesure que » augmente, Or, si l'on désigne 
par ? le module de x, l'expression précédente admet comme majorante l'intégrale 
id et / 2" are gn+i ; N 
M | (a ETES (n ee 1)! 7 n + 1 + . Et24 de, (3) 
laquelle représente le reste du développement suivant les puissances de £ de cette 
autre intégrale 
> 
; CEE, 
0 F 
Si l’on développe le premier membre de la dernière formule suivant les puissances 
de £ et qu'on intègre terme par terme, on obtient précisément le développement 
du second, lequel n’est valable que pour £ 7. L'intégrale (3) tend donc vers zéro 
(3) 
Mie ER nr EM ER pl 
