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à mesure que » augmente toutes les fois que £ 7 et il en est de même à fortiori 
pour l'intégrale (2) dès que | x | 7. 
On peut maintenant généraliser facilement la notion de fonction réduite. 
Si o(x) représente une fonction quelconque et que l'intégrale (1) ait un sens 
quand x se déplace à l'intérieur d'un certain domaine, cette intégrale se nommer 
la réduite de 4(x). Ainsi qu'on Pa vu plus haut, il y a quelquefois avantage à 
désigner sous ce terme la même intégrale évaluée suivant un contour quelconque ; 
mais la réduite ainsi définie n’a plus, en général, les propriétés simples que nous 
allons lui reconnaitre et nous n'utiliserons désormais ce mot que dans le sens 
restreint indiqué tout d’abord. 
Considérons maintenant le cas particulier où la fonction £(x) est holomorphe, 
autrement dit  — 0. Dans ce cas, la formule (1) peut être résolue par rapport 
à © et l’on a, +, représentant maintenant une fonction quelconque régulière 
à l’origine, 
zx 
1 ST dv 
Mi Re D TEE (4) 
l'intégrale étant prise dans le sens direct sur un contour très petit entourant une 
seule fois l’origine. Ce résultat se démontre de suite en remplaçant 4,(+) par son 
développement 4, + be + be? +. et intégrant chaque terme, L'intégrale (x) 
est visiblement holomorphe dans tout le plan et présente le type particulier 
indiqué plus haut. De l'égalité (4), on conclut inversement la relation (1) pour 
iæ | 7. Mais nous allons voir que cette relation à lieu en général dans un 
domaine plus étendu que le cercle du rayon 7. 
En effet, soit S l'aire dans laquelle 2,(r) reste holomorphe: délimitons une 
surface Si, intérieure à S, telle que les cercles ayant pour diamètres les droites 
joignant l’origine à un point quelconque de S, ne coupent pas le contour simple 
enveloppant S. Il est clair que l'aire S, déborde en général sur le cercle de 
convergence de la série 2,(v); d'autre part, quels que soient x pris dans l'aire $, 
QE. 
x 
a Sa 
et ” sur son contour, l'angle Owx est aigu, autrement dit la quantité 
partie réelle positive. Ainsi en prenant l'intégrale (4) suivant le contour C de 
l'aire S, nous avons 
