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NOTE SUR UNE OPÉRATION ANALYTIQUE 299 
Mais en intervertissant l’ordre des intégrations dans le second membre, il devient 
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C 0 
puis, en vertu de l’observation précédente, 
* 2 (v)de 
= ou enfin  2ris(x) 
( 
On voit done que l'égalité (1) aura lieu dans l'aire S, tout entière; de la sorte 
cette intégrale (1) constitue un prolongement analytique de la série 2,(r) dans 
l'aire S.. 
Pour mettre la démonstration précédente à labri de toute critique, il nous 
faut, il est vrai, établir la légitimité de l'inversion dans l’ordre des intégrations. 
Mais celle-ci résulte du fait que l'intégrale 
L 4 
& de @ — I [as 
a) | € Che 
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tend vers zéro à mesure que N augmente. En effet, en désignant par « le 
ae à a : A UT, c 6 
minimum positif de la partie réelle de T7 On trouve de suite comme limite 
supérieure du module de l'intégrale considérée cette autre 
(or lee) 62 de 
a À E0) a ? 
C 
laquelle tend vers zéro quand N augmente à l'infini. 
Nous passons maintenant à l'examen de quelques propriétés élémentaires des 
fonctions réduites, auxquelles nous aurons fréquemment recours dans la suite, 
1° Si U(x) et V(x) sont deux fonctions admettant chacune une réduite de 
Laplace, la somme de ces fonctions et leur produit admettent tous deux une 
réduite de Laplace. 
Le théorème relatif au produit étant seul à justifier, soient 
U(x) = ze (u, + u,x + us +. ) , 
Nr) = 2 (0, + ox + mt HE. ) , 
() 
