300 C. CAILLER 
les fonctions, > le rayon de convergence commun à leurs réduites, M et N deux 
nombres fixes; nous avons les inégalités 
M lee EPEIN 
| Un 1e 1 om ? Un < NM 
m! 3 ml? 
Le produit vaut 
W(x) = U(x)V(x) = 28 + (000 + 0,2 + wa +. ) 
Or 
Un — Umnto + Un — 10; +... —— ol m 
et remplaçant les # et # par leur module maximum nous obtenons 
SIND _ "MN 
| Um | = 
nn) re re 
La réduite du produit existe donc dans un cercle de rayon au moins égal à 
; - De cette propriété résulte évidemment que si f(U,V,W....) est un polynôme 
en U,V.W... et que chacune de ces fonctions U,V,W... admette une réduite de 
Laplace, il en sera de même pour /(U,V,W,...). 
20 Ki la série U — U,(x) + U,(x) + U.(x) + … est telle que chacun de 
ses termes admette une réduite et que la série de ces réduites U,/(x) + U,'(x) +... 
forme un tableau à double entrée absolument convergent dans un cercle de 
rayon 7, cette série sera la réduite de la fonction U(x). 
Ce théorème est évident. 
6 : à À Il ba 
3° La réduite du produit e%}(bx) est égale à —— = ( === Je On 
é È 1— ax "\1 — ax 
= / bx \ à br 
désigne par ?, <= 7 =) le résultat de la substitution de la quantité LE 
—ug == 
à la place de la variable # dans la réduite de la fonction 2. 
En effet, en supposant que cette dernière réduite existe, il en est de même 
de celle du produit. Celle-là est donnée par la formule (1) et se trouve égale à 
12 22 
[ ete) (bre)de ou | er = #)\Drz)de, 
Al 0 
(6) 
