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NOTE SUR UNE OPÉRATION ANALYTIQUE 303 
Ainsi le théorème relatif à la réduite de l'intégrale (6) subsiste pour le 
nouveau sens du mot réduite. On en déduit aisément 7, lorsque 7, et 7, sont 
supposés donnés : en effet, 2,", 2,7, 2.", ont les formes suivantes 
AD (CS Eur, () 
Xe! (4) = u(T) —— (x) ; 
23) = pr) + (2) , 
et l'identité (7) montre que les fonctions réelles ,(x) et »,(x) seront déterminées 
par une simple division algébrique lorsque 7, et 7, autrement dit 2,, »3. 3, 7, Sont 
donnés. Comme, d'autre part, il résulte de la définition que 
% 
[l cos (x2)de = p,(x),, 
0 
[l sin, (te)dz — y,(x) . 
0 
il est clair que le problème S'achève par l'inversion de l’une où l'autre de ces 
intégrales de Fourier. Le calcul, que nous laisserons au lecteur le soin d'achever, 
met en évidence l'identité des deux résultats ainsi obtenus. Cette condition était 
nécessaire pour que l'équation (6) admit une solution: elle suffit d’ailleurs, sous 
réserve de certaines restrictions relatives à l'intégrabilité des fonctions 7,, 7,. 2, et 
à l'existence des intégrales de Fourier 2,/(r) et (x) dont la première ne doit 
s’annuler pour aucune valeur positive de 7. 
Laissant de côté la discussion de ces divers points suffisamment élucidés par 
M. Levi-Cività, je remarque que la solution précédente, Œ'un haut degré de 
généralité, peut être simplifiée notablement dans un cas très étendu. Restituons au 
mot réduite son sens primitif et supposons que la fonction connue 7, ait la 
forme x—4(G,(x), + étant un exposant compris entre 0 et 1, et G,(x) une 
transcendante entière de la forme indiquée à la page 296 : la réduite de }, existe 
dans ces conditions. Nommons A la fonction primitive du quotient te , fonction 
dont la forme est À —x#-1(r(x). La fonction A se trouve par simple division 
algébrique et comme l’exposant 1 — Z est positif et plus petit que l'unité 
il s’ensuit que l'intégrale 
[ AG r — 2)dz 
Ù 
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MÉM. SOC. PHYS. ET HISP. NAT. DE GENÈVE, VOL. 34 (1905). 38 
