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S 3. Relations différentielles. 
Nous avons vu que la réduite de Ja fonction e“(br) est égale à la quantité 
] . (LD TR 
lt Gi _ a) 
Différentions cette relation » fois par rapport à «& et x fois par rapport à b, 
puis faisons & — 0 eth — 1; nous obtenons pour réduite de la fonction de 
a" + mn) (x), la quantité 
ct rl ba 
; SES 2,00 M ] 
EE) en À — 4x 
après les calculs il faut remplacer & par 0 et b par 1. On voit que la réduite de 
'altifs s exprime en fonction de 7, et de ses dérivées jusqu'à la (2 + n)'°e, 
HA 
E l t jar > et à A transf 1h 
DATreMAGAN ES al y Et —— par y“? = , On transiorhe 1 EXPI'ESSION 
À PES l — «x PAZ APT CT , RES 
A d m dl \n 
précédente successivement en æ" Ÿ" rx) (ee) (ty), puis, 7 étant — 1, en 
{/ S'icé 
/ d n ] 74 3 d \" _ : PAL + n \ re 
A GUE A A ne | “a, (&), enfin en 3" ®" Tr En x", (x). Telle est la 
n 
forme définitive pour la réduite de l'expression a" T? 7 (x). 
La forme de ce résultat suggère l’extension suivante, exacte à une exception 
près: la réduite de l'expression a"}0(x), m et n étant deux entiers positifs, est 
5 > f] Lee 
égale à à dr (a PE 
Il suffit de démontrer cette proposition pour ? — 2#. Mais dans ce cas on à 
au(x) — os — 1)...(u. =" —- Lx mL LL 
et 
Etc) 1] NU + on)! LULU IL) EAI — n + ljxrtte, 
(12) 
