NOTE SUR UNE OPÉRATION ANALYTIQUE 307 
D'ailleurs 
TE CL EP EE 
et par suite 
d" . a 
2 dr" (me) = ul (arr in) (Em RL ER NE EE 
La règle est prouvée, car dans les deux expressions le coefticient de x" "+ 
(u + m—n)! 
Aie Toutefois cette transformation sup- 
se trouve égal à la quantité 2! 
pose le nombre » non entier: dans le cas contraire il ne saurait être négatif, 
> étant alors infini; S'il est plus grand que » la règle demeure vraie et l'exception 
se manifeste seulement lorsque est Fun des nombres 0, 1... (# — 1). Le premier 
coefficient numérique est alors toujours nul, le second ne le sera que si 4 est égal ou 
supérieur à » — m1: en résumé, il ÿ a exception pour » positif et mférieur à (2 —n). 
Si donc > affecte la forme r#G(x), » étant fractionnaire, la règle précédente s'ap- 
plique sans modification: au contraire si 2 est holomorphe et égal au dévelop- 
pement 
2 = Go + ar + Qu +. ax +... pP=n—Mm 
il faut écrire 
cl 
nm (n) En Am Lo — n f° < l'—.1 { 
RTE: en Ro Ge. Qt he (9) 
De la règle précédente il résulte que si la fonction z vérifie une équation 
différentielle de la forme 
d"} dd" — 1; 
nn net M A ed (10) 
dans laquelle les P et H représentent des polynômes en +, la fonction 7, satisfait à 
son tour une équation différentielle de forme semblable 
de CET À 
Qt Miam e D n ET (11) 
téciproquement lorsque cette dernière équation admet une intégrale conver- 
gente autour de l'origine et pour laquelle ce point n'est pas critique transcendant, 
la précédente (10) admet une solution qui est la primitive de cette intégrale. 
Quant à la relation existant entre ces équations différentielles (10) et (11), 
elle donne lieu aux observations suivantes. 
(15) 
